§ 8. Формула Бернулли
О. 1. Если проводится несколько испытаний, причем вероятность появления события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события .
Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых возможно только два исхода: либо событие появится, либо нет.
Условимся считать, что
вероятность события
в каждом испытании одна и та же и равна
.
Тогда вероятность
ненаступления события
в каждом испытании так же постоянна и
равна
.
Выше описанная совокупность условий называется схемой независимых испытаний Бернулли.
Теорема 1.
Если вероятность
наступления события
в каждом из независимых испытаний
постоянна, то вероятность
того, что в
независимых испытаниях событие
появится ровно
раз, вычисляется по формуле
.
Пример 1. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятность появления мальчика в семье равной 0.515, определить вероятность появления в ней двух мальчиков.
Решение:
.
§ 9. Формула Пуассона
Если число испытаний
достаточно велико, а вероятность
появления события
в каждом испытании постоянна и равна
,
причем
,
то применение формулы Муавра-Лапласа
становится невозможным.
Теорема 1.
Если вероятность
появления события
в каждом испытании стремится к нулю при
неограниченном увеличении числа
испытаний, причем произведение
сохраняет постоянное значение, т. е.
,
то вероятность
того, что в
независимых испытаниях событие
появится
раз удовлетворяет предельному равенству:
(2).
Строго говоря, условие
теоремы 2:
при
,
нарушает исходные предпосылки в схеме
независимых испытаний Бернулли, в
которой
.
Однако, если вероятность
постоянна и достаточно мала, а число
испытаний велико, причем произведение
незначительно, то из предельного
равенства (2) можно записать приближенную
формулу Пуассона:
.
Пример 3. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено три изделия.
Решение: В данном случае формула Бернулли не применима, т. к. придется возводить 0. 002 в 500-ю степень.
;
.
§ 10. Наивероятнейшее число появления события
О. 1.
Наивероятнейшим
числом
наступления события
в
независимых испытаниях называется
число, вероятность которого,
по крайней мере не меньше вероятностей
вычисленных для всех остальных
.
Наивероятнейшее число - наступления события в независимых испытаниях находится из неравенства
.
(1)
Т. к.
,
то обязательно найдется хотя бы одно
целое число
,
удовлетворяющее неравенству (1).
Если обе части неравенства (1) – дробные числа, то - единственное целое число, расположенное между данными дробями.
Если число
- целое, то наивероятнейших чисел будет
два:
и
.
Если число
- целое, то наивероятнейшее число
.
Пример 1. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятность появления мальчика в семье равной 0.515 найти наивероятнейшее число появления мальчиков в семье c четырьмя детьми.
Решение: Т. к.
,
,
,
то
.
Т. е. вероятнее всего, что мальчиков
будет два. Проверим это. Найдем вероятности
того,
что мальчиков будет 0,1,3,4.
Следовательно, вероятнее всего появление двух мальчиков.