§ 14. Функция распределения вероятностей

Т. к. способ задания случайных величин с помощью ряда распределения имеет место только для ДСВ, то естественно возникает вопрос: можно ли ввести общий способ задания для всех типов случайных величин?

Пусть - случайная величина, а - некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее обозначается .

Если изменяется, то изменяется и , т.е. есть функция зависящая от .

О. 1. Функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) называется функция , определяющая вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.

.

Геометрически это означает, что есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, расположенной слева от точки .

Свойства функции :

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е.

.

2. Функция неубывающая, т.е.

, если .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:

1) при ;

2) при .

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение , равна нулю, т.е.

.

График функции распределения вероятностей ДСВ представляет собой ступенчатую фигуру, а НСВ – непрерывную линию. Причем, если речь идет о ДСВ и ее возможные значения расположить в порядке возрастания , то может быть представлена в виде:

Пример 1. ДСВ задана таблицей распределения:

	1	4	8
	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и изобразить ее на графике.

Решение:

Пример 2. НСВ задана своей функцией распределения:

Построить график функции и найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале .

Решение:

.

§ 2. Плотность распределения вероятностей

О.1. Плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины называется функция , равная первой производной от функции распределения , т.е.

.

Свойства функции :

1. Плотность распределения неотрицательная функция, т.е. .

2. Несобственный интеграл от плотности распределения на интервале равен единице, т.е.

.

3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

.

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал может быть вычислен по формуле (Ньютона-Лейбница):

.

5. Если известна плотность распределения , то функция распределения может быть найдена по формуле:

Пример 3. НСВ задана плотностью распределения

.

Найти функцию распределения вероятностей и построить графики и . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из интервала .

Решение:

при : ;

при : ;

при : ;

.

.