§ 5. Теоремы сложения вероятностей

Пусть даны два события и требуется определить вероятность появления хотя бы одного из этих событий.

Теорема 4. Если события и несовместные, то вероятность появления одного из этих событий (сумма) равна сумме вероятностей данных событий, т.е.

.

Следствия:

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

Пример 4. В урне 10 красных, 5 синих и 3 зеленых шара. Наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется или красным или синим.

Решение: События и несовместные

Событие - ;

Событие - ;

.

Теорема 5. Если события и совместные, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий (сумма) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т. е.

.

Пример 6. Вероятность попадания в цель первого и второго стрелка соответственно равны 0,4 и 0,5. Найти вероятность попадания при одном выстреле хотя бы одного из стрелков (стрелки делают выстрел одновременно).

Решение:

Событие - ;

Событие - ;

§ 6. Вероятность появления хотя бы одного события

В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию.

Пусть события попарно независимы и их вероятности известны и равны соответственно , тогда вероятности противоположных им событий будут равны .

Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , т.е.

.

Пример 7. Вероятность своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.

Решение: Если , тогда

- вероятность того, что ни одно предприятие не выполнит своевременно задание.

.

§ 7. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса

Теорема. Если событие может наступить только при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу, то вероятность события равна сумме произведений каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события , т. е.

.

Поскольку заранее не известно, какие из событий наступят, то их называют гипотезами.

Часто, приступая к анализу вероятностей, мы имеем предварительные значения вероятностей, интересующих нас событий. После проведения испытания эти вероятности могут несколько уточняться.

Пусть произведено испытание, в результате которого появилось событие . Необходимо найти вероятности гипотез , после того как испытание произведено, т. е. условные вероятности гипотез .

Найдем сначала условную вероятность .

По теореме умножения .

Отсюда .

Аналогично выводятся формулы остальных гипотез.

В общем случае условная вероятность любой гипотезы , где , определяется как .

Последняя формула называется формулой Байеса. Она позволяет переоценивать вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Пример 1. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна , а ко второму - Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна , а вторым - .

Найти вероятность того, что деталь будет признана стандартной;

Проверенная деталь признана стандартной. Найти вероятность того, что она проверена первым контролером.

Решение: Событие ,

Гипотеза ,

Гипотеза .

1) ;

2)

Т.о. до испытания значение вероятности гипотезы равнялось , а после проведения испытания изменилось и стало равняться .