§ 3. Алгебра событий

О.1: Суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий или .

Если события и совместные, то их сумма означает наступление или события , или события , или обоих событий и .

Если события и несовместные, то их сумма означает наступление или события , или события .

О. 2: Произведением двух событий и называется событие , состоящее в одновременном появлении и .

Аналогично определяются сумма и произведение событий.

Пример 8: Произведено два выстрела по мишени.

Событие ;

Событие ;

Событие

Событие

§ 4. Теоремы умножения вероятностей

О. 1. Два события и называются зависимыми, если вероятность появления каждого из них зависит от того, появилось ли другое событие или нет.

О. 2. Два события и называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось ли другое событие или нет.

О. 3. Вероятности независимых событий называются безусловными.

Пусть и зависимые события.

О. 4. Условной вероятностью события называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что событие уже произошло.

Обозначается или .

Условная вероятность события определяется аналогично.

Теорема 1. Если и независимые события, то их условные вероятности совпадают с обычными вероятностями, т. е.

,

.

Пример 1. В ящике находятся 10 красных шаров и 5 синих. Последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлеченный шар синий, если:

выборка осуществляется без возвращения;

выборка осуществляется с возвращением.

Решение:

Событие - ;

Событие - ;

В первом случае события и зависимые, а во втором не зависимые.

1) ;

2) .

Пусть даны два события и и требуется найти вероятность их совместного появления.

Теорема 2. Если и зависимые события, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т. е.

,

.

Следствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже произошли, т. е.

.

Пример 2. В урне 10 красных, 5 синих и 3 зеленых шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится синий шар, при втором – красный и при третьем – зеленый шар.

Решение: События зависимые.

Событие - ;

Событие - ;

Событие - ;

Теорема 3. Если события и независимые, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению их вероятностей, т. е.

.

Следствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких независимых событий равна произведению вероятностей данных событий, т. е.

Пример 3. В примере 2 выборка осуществляется с возвращением.

Решение. События независимые