§ 2. Понятие вероятности события

О. 1. Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности наступления события в данном испытании.

Выбор числового значения вероятности в конкретной задаче осуществляется либо при обработке результатов большого количества испытаний, либо предполагается теоретически ( например по свойству симметрии).

Пусть в результате испытания может наступить конечное число равновозможных элементарных событий (исходов), причем среди них имеются таких исходов, которые ведут к появлению события . Эти событий называются благоприятствующими событию .

О. 2. (классическое определение) Вероятностью события называется отношение числа элементарных событий благоприятствующих событию к числу всех элементарных событий: , где - общее число элементарных событий, - число элементарных событий благоприятствующих событию .

Пример 1. Даны числа от 1 до 30. Наудачу выбирается одно число. Найти вероятность того, что это число является делителем 30.

Решение: , , , .

Свойства вероятности

Вероятность достоверного события равна единице, т. к.

;

Вероятность невозможного события равна нулю, т. к.

;

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т. к.

, то .

Недостатки классического определения.

1. Определение не применимо, если число элементарных исходов испытания бесконечно.

2. Часто не возможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий.

3. Трудно указать основания, позволяющие считать события равновозможными. О равновозможности исходов опыта заключают из соображений симметрии.

Для преодоления 3 недостатка вводятся статистические вероятности, а для преодоления 1 недостатка – геометрические (вероятности попадания точки в область). Рассмотрим более подробно понятие статистической вероятности.

Пусть произошло испытаний, причем в этих испытаниях событие появилось раз. Число называют абсолютной частотой события .

О. 3. Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу проведенных испытаний , где - общее число испытаний, - число появлений события .

Пример 2. Среди 1000 новорожденных оказалось 515. Чему равна частота рождения мальчиков.

Событие - родился мальчик. Относительная частота события :

Вероятность события может быть посчитана без проведения испытания, а относительная частота считается только в том случае, если испытание проведено фактически.

Если в одинаковых условиях проводят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает следующее свойство: в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.

О. 4. (статистическое определение) Вероятностью события в данном испытании называется число , около которого группируется значения относительной частоты при больших

.

Недостатки статистического определения.

Неоднозначность статистической вероятности.