3. Нормальное распределение
О.2. Закон распределения НСВ называется нормальным, если ее плотность распределения задается в виде:
,
где
и
- параметры нормального распределения.
Вероятностный смысл параметров нормального распределения:
- математическое
ожидание,
- среднее квадратическое
отклонение.
О.3. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса и он имеет вид:
О. 4.
Нормальное распределение с параметрами
называют нормированным (стандартным).
Свойства нормального распределения:
1. Зная плотность распределения и используя формулу ,
можно найти функцию распределения:
.
2. Вероятность попадания нормально-распределенной НСВ в интервал определяется по формуле:
,
где
- функция Лапласа.
3. Вероятность
того, что отклонение нормально-распределенной
НСВ
от ее математического ожидания
по абсолютной величине будет меньше
заданного числа
,
определяется по формуле:
.
Если
,
то
.
Правило трех сигм:
Если НСВ
распределена нормально, то абсолютная
величина ее отклонения от математического
ожидания не превосходит утроенного
среднего квадратического отклонения,
т. е. все значения НСВ
попадают в интервал
с вероятностью близкой к единице.
Теорема 1. (центральная предельная теорема Ляпунова)
Если НСВ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, то влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.
Пример 3. Средний вес пойманной рыбы составляет 375 г., а среднее квадратическое отклонение 25 г. Считая вес пойманной рыбы НСВ - распределенной по нормальному закону, найти вероятность того, что вес очередной пойманной рыбы будет не менее 300, но и не более 420 граммов. Найти вероятность того, что вес очередной пойманной рыбы будет отличаться от среднего веса не более чем на 0,3.
Решение:
.
§17. Закон больших чисел
Поскольку на практике сведения о каждой случайной величине, чаще всего, являются очень скромными и уверенно предсказать какое возможное значение она примет затруднительно, то может показаться, что нельзя установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. Оказывается, что это не так.
Закон больших чисел в широком смысле – это общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных величин приводит, при некоторых сравнительно широких условиях, к результату, почти независящему от случая, т.е. при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью точности.
Терема 1. (неравенство Маркова)
Если случайная величина
принимает только неотрицательные
значения, то для любого числа
выполняется неравенство:
.
Для события
,
противоположного событию
,
неравенство Маркова может быть записано
в виде:
Теорема 2. (неравенство Чебышева)
Вероятность того, что
отклонение случайной величины
от ее математического ожидания по
абсолютной величине меньше любого числа
,
не меньше чем
,
т.е.
.
Для события
,
противоположного событию
,
неравенство Чебышева может быть записано
в виде:
.
Теорема 3.
(теорема Чебышева)
Если
- попарно независимые случайные величины,
причем дисперсии их равномерно ограничены
(не превышают постоянного числа
),
то, как бы мало ни было
,
вероятность неравенства:
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Замечание 1. Теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число случайных величин, имеющих равномерно ограниченные дисперсии и являющиеся независимыми, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Теорема 4. (частный случай теоремы Чебышева)
Если - попарно независимые случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидание , и их дисперсии равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было , вероятность неравенства:
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Сущность теоремы
Чебышева: хотя
отдельные независимые случайные величины
могут принимать значения, далекие от
своих математических ожиданий, среднее
арифметическое достаточно большого
числа случайных величин с большой
вероятностью принимает значения,
близкие к определенному постоянному
числу, а именно к числу
.
Другими словами, отдельные случайные
величины могут иметь значительный
разброс, а их среднее арифметическое
рассеянно мало.
Значение теоремы Чебышева для практики:
При измерении некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. Теорема Чебышева указывает условия, при которых указанный способ может быть применен.
На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов.
Пусть выполнены условия схемы независимых испытаний Бернулли, причем достаточно велико.
Теорема 5. (теорема Бернулли) Если в каждом из независимых испытаний вероятность события постоянна, то вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, будет как угодно близка к единице если число испытаний достаточно велико, т.е.
.
Сущность теоремы Бернулли: теорема Бернулли позволяет предвидеть, какова примерно будет относительная частота появления события.