18 Вопрос. Предел ф-ций в точке. Правый, левый пределы ф-ции (по Гейне и по Коши).
Предел функции по Гейне: Число b называется пределом функции y=f(x), в точке а, если для любой последовательности значений аргумента , Х2, …, ,… сходящейся к а и состоящей из чисел , отличных от а, соответствующая последовательность значений функции f( ), …, f( ), … сходится к числу b
Предел функции по Коши: Число b называется пределом функции y=f(x), в точке а, если для любого положительного числа эпсило найдется отвечающее ему положительное число дельта, такое что для всех значений аргумента х, удовлетворяющего условию 0<|x-a|<дельта справедливо неравенство |f(x)-b|<эпсило.
Замечание 1. Следует подчеркнуть важность требования, обязывающего элементы последовательности значений аргумента х быть отличными от а, и аналогично в определении по Коши, т.к. функция y=f(x),может быть не определена в точке а.
Замечание 2: Определения по Коши и по Гейне эквивалентны
Правый предел функции по Гейне: Число b называется правым пределом функции y=f(x), в точке а, если для любой последовательности значений аргумента { }, сходящейся к а и состоящей из чисел больших а, соответствующая последовательности значений функции {f( )} сходится к числу b.
Левый предел функции по Гейне: Число b называется левым пределом функции y=f(x), в точке а, если для любой последовательности значений аргумента { }, сходящейся к а и состоящей из чисел меньших а, соответствующая последовательности значений функции {f( )} сходится к числу b.
Правый предел функции по Коши. Число b называется правым пределом функции y=f(x),в точке а, если для любого положительного числа эпсило найдется отвечающее ему положительное число дельта, такое что для всех значений аргумента х, удовлетворяющего условию а<x<a+дельта справедливо неравенство |f(x)-b|<эпсило
Левый предел функции по Коши. Число b называется левым пределом функции y=f(x),в точке а, если для любого положительного числа эпсило найдется отвечающее ему положительное число дельта, такое что для всех значений аргумента х, удовлетворяющего условию а-дельта<x<a справедливо неравенство |f(x)-b|<эпсило.
Теоремы о пределах функции Функция f(x) имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый предел и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Доказательство.
Пусть
,
тогда по определению правого и левого
предела функции для любого эсило>0
существуют числа дельта1>0
и дельта2>0
такие, что для всех х удовлетворяющих
условиям
выполняется
неравенство
.
Возьмем
.
Тогда для всех х, удовлетворяющих условию
будет выполняться неравенство
,
а это по определению означает, что
.
Обратно, пусть
,
тогда по определению для любого
положительного числа эпсилон
найдется отвечающее ему положительное
число дельта,
такое что для всех значений аргумента
Х, удовлетворяющего условию
,
справедливо неравенство
(эпсилон).
Тем самым как для
,
так и для
,
справедливо неравенство
(эпсилон),
а это согласно определению односторонних
пределов означает, что
