55 Вопрос. Теорема Лагранжа.

Теорема (теорема Лагранжа)

Пусть на [а,b] определена функция f{x), причём:

1) f(х) непрерывна на [а,b]

2) дифференцируема на (а,b).

Тогда существует точка с принадлежит (а, b) такая, что справедлива формула '

Доказательство.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию на [a,b]

Функция F(х) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля:

1) F(x) непрерывна на [a,b] (как разность двух непрерывных функций f(x) и линейной функции

.2) F(x) 'дифференцируема на ,(а;b),.т.е. внутри [a,b] имеет производную, равную

Следовательно, по теореме Ролля существует точка с принадлежит(а,b) такая, что . Отсюда получаем’

Теорема доказана.

Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа, Пусть -концы графика функции f(x), АВ - хорда, соединяющая точки А и В. Тогда отношение равно тангенсу угла между хордой АВ и оськ» ОХ, т.е. а производная f’’(c), как известно, равна тангенсу угла  между кaсательной к графику функции f в точке (с, f(с)) и положительным направлением оси ОХ, т.е. . Поэтому

,Таким образом геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в следующем: на кривой, являющейся графиком функции у=f(x), удовлетворяющей условиям теоремы Лагранжа, существует точка С(с,f(с)) (по крайней мере, одна), в которой касательная параллельна АВ.

Отметим, что равенство называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Эта формула важна тем, что она связывает приращение функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке. Так как точка лежит между точками a и b, то с= , где , Учитывая зто, формулу Лагранжа можно записать в виде . Если положить , то получим Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем первал-Формула Лагранжа может быть представлена и в виде Таким образом, она справедлива не только при а <b, но и при а>b.

56 Вопрос. Теорема Коши.

Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [а,b] и дифференцируемы на (а, b). Пусть, кроме того, g’(x)= 0-Тогда существует точка с принадлежит (a,b) такая, что справедлива формула

Доказательство.

Покажем сначала, что g(b)-g(a) не равно 0, т.е., что формула имеет смысл. Действительно, если допустить, что g(b) =g(a), то функция g(x) будет удовлетворять условиям теоремы Ролля, а по т. существует точка х0, в которой g(x) = 0, а это противоречит условию теоремы.

Докажем формулу (2). Рассмотрим на [а,b] вспомогательную функцию Нетрудно заметить, что F(x) на [а,b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1) F(x) непрерывна на [a,b],

2) дифференцируема на (а, b).

3) F(b) = 0 и F(a) = 0„ т.е. F(a) = F(b). По теореме Ролля для функции F(x) существует точка с, а < с <b, такая, что F’(с) = 0.

Гак как

Учитывая, что g'(x) не равно 0, получаем формулу (2).

Формула (2) называется формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.

57 Вопрос. Условия монотонности функции на интервале.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на интервале (а,b) и на (а,b) то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). Доказательство^

Докажем теорему для случая Пусть Х1 и. Х2 две произ­вольные точки из (а,b) и x1<Х2; тогда на отрезке [х1,х2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и следовательно выполняется

Условие По условию, , поэтому , т.е. функция .f(x) не убывает на (a,b).

Случай доказывается аналогично,

Аналогично можно доказать, что если на (a,b), то f(х) возрастает (убывает) на (а,b).

Положительность (отрицательность) производной f'(с) не является необходимым условием возрастания (убывания) функции f(x) в точке с. В качестве примера назовем функцию f(х)= , которая возрастает в точке х = 0 и тем не менее имеет в этой точке производную f'(0)=0. Если в условии теоремы функция f(х) непрерывна в точке a справа, то f(x) монотонна на промежутке [a,b). Действительно, в этом случае можно пользоваться теоремой Лагранжа и при х1=а. Аналогичное замечание относится и к точке b, если функция f(х) непрерывна в точке b слева.