3.4. Схема начисления простых и сложных процентов

В зависимости от условий проведения финансовых операций, как компаундирование, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных и непрерывных процентов. Простые проценты обычно используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года. Базой для исчисления процентов за каждый плановый период в этом случае является первоначальная (исходная) сумма сделки. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

Сложные проценты широко применяются в долгосрочных операциях со сроком проведения больше года. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями договора. При этом исходная величина, необходимая для исчисления процентов за плановый период, включает в себя, как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных процентов. Пусть капитал К руб. отдан под сложные р% с годовым периодом наращения. Это означает, что доход (прибыль) присоединяется к капиталу по истечении каждого года. В таком случае каждый год рубль капитала обеспечит прирост (р/100) руб. дохода (прибыли), а К руб. позволит получить (К х р/100) дохода (прибыли). Для обеспечения компактности в последующем соответствующих формул введем вместо р/100 соответствующую этому отношению относительную величину Е. Тогда через год образуется капитал :

Дn=1 = Дo ٠ (1 + Е), при этом Дo = К

Дn=2 = Дn=1 ٠ (1 + Е)

Дn=3 = Дn=2 ٠ (1 + Е)

·····························

Дn = Дn-1 ٠ (1 + Е), где : (3.10)

Дn=1, Дn=2, Дn=3, …. , Дn – капиталы, образованные по сложным процентам в конце первого, второго, третьего и т.д. годов. Используя рекуррентную последовательность, представим ее в виде обобщенной формулы :

Дn = К ٠ (1 + Е)ⁿ , n = 1, 2, 3, …..

Эту формулу и принято называть формулой вычисления сложных процентов. Из нее видно, что процесс наращения по сложным процентам описывается геометрической прогрессией, начальный член которой К, а знаменатель прогрессии (1 + Е)ⁿ называется коэффициентом наращения.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовом вычислении вообще и при оценке инвестиционных проектов в частности.

Наиболее щепетильные кредиторы, принимая во внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда срок ссуды не равен целому числу лет: сложные проценты начисляются на период, измеряемый целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке :

Д = К ٠ (1 + i)n ٠ [1 + (t/k) ٠ i], где: (3.11)

n – число полных лет в составе продолжительности операции;

i – процентная ставка, в долях единицы;

t – число дней в отрезке времени, приходящимся на неполный год;

k – временная база.

Пример 3.3. Определить наращенную сумму кредитных средств (Д) по обычной формуле сложных процентов и по формуле предусматривающей смешанный порядок начисления процентов, если известно, что ссуда в 3 млн. р. выдана на 1 января 2010 года по 30 сентября 2012 года под 28% годовых.

Решение. В случае начисления сложных процентов за весь срок пользования деньгами наращенная сумма (Д) составит :

(2+ 9/12)

Д = 3 ٠ (1 + 0,28) = 5,915 млн. р.

Если же использовать смешанный способ (например, коммерческие проценты с точным числом дней), то получим :

2

Д = 3 ٠ (1 + 0,28) ٠ [1 + (272/360) ٠ 0,28] = 6 млн. р.