Вопрос 6.3. Свойства определенного интеграла.

Свойство 6.4. (Линейность определенного интеграла)

.

Доказательство. Используя линейность интегральной суммы и свойства предела, получим

.

Отсюда получаем доказываемое равенство.

Конец доказательства.

Следствие 6.3. Если функции и определены на отрезке , причем интегрируема на отрезке , а функция и отличается от функции в счетном числе точек, то функция интегрируема на отрезке и

.

Доказательство. Приведем доказательство для случая, когда число точек, в которых , конечно. Пусть это будут точки отрезка . Рассмотрим функцию . Тогда только, если . Положим . Тогда выполнив произвольное разбиение отрезка с диаметром , и, учитывая, что каждая точка принадлежит не более чем двум отрезкам , получим для интегральной суммы функции неравенство:

.

Переходя в нем к пределу при , получим . В силу свойства линейности, функция интегрируема на отрезке и

.

Конец доказательства.

Из данного следствия вытекает важный вывод:

Следствие 6.4. Интеграл не изменится, если изменить у интегрируемой на отрезке функции значения не более чем в счетном числе точек.

Свойство 6.5. (Нормировка определенного интеграла). Если на отрезке , то .

Доказательство. Интегральные суммы единичной функции равны . Поэтому, вычисляя предел такой постоянной суммы, получим, что интеграл равен .

Конец доказательства.

Свойство 6.6. (Положительная определенность определенного интеграла). Если , то .

Доказательство. Пусть , тогда по свойству положительности интегральных сумм . Переходя к пределу, получим, что интеграл неотрицателен.

Конец доказательства.

Следствие 6.5. Если , то .

Доказательство. Из неравенства следует, что , тогда

Конец доказательства.

Свойство 6.7. Если функции и интегрируемы на отрезке , то и их произведение интегрируемо на отрезке .

Приводится без доказательства.

Свойство 6.8. (Теорема о среднем значении). Если непрерывна на , то найдется точка c из этого отрезка такая, что .

Доказательство. Пусть минимальное и максимальное значения функции на отрезке соответственно равны m и M. Интегрируя неравенство , получим

.

или

.

В силу непрерывности функции найдется такая точка c отрезка , что

.

Конец доказательства.

Свойство 6.9.  Если функция интегрируема на отрезке , то ее модуль также интегрируем на отрезке , при чем справедливо неравенство

.

Доказательство. Первая часть теоремы, т.е. доказательство интегрируемости модуля функции приводится без доказательства. Из неравенства

Следует, что

,

или

.

Конец доказательства.

Лекция № 7. Определенный интеграл.

Вопрос 7.1. Аддитивность определенного интеграла .

Положим по определению, что

и

.

Теорема 7.1. (Аддитивность определенного интеграла). Если c некоторое число, то

.

при условии, что все указанные интегралы существуют.

Доказательство. Пусть и T такое разбиение, что c попадает на правый конец одно

го из отрезков разбиения. Тогда получаем

.

Переходя к пределу при , получим

.

Пусть теперь . Тогда применяя свойство аддитивности к отрезку , получим

или

.

Меняя в последнем интеграле пределы интегрирования, получим

.

Аналогично доказывается свойство аддитивности при .

Конец доказательства.