Лекция № 15. Функции нескольких переменных.
Вопрос 15.1. Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных.
Определение 15.1. Векторным полем называется закон, по которому каждой точке X из некоторого множества M арифметического пространства ставится в соответствие один и только один вектор.
Определение 15.2. Градиентом функции нескольких переменных называется векторное поле, определяемое по закону
.
Для функций 2-х и 3-х переменных градиент можно записать соответственно в виде
Замечание 15.1. Удобно точку X рассматривать как n‑мерный вектор .
Градиент вектора обладает следующими двумя свойствами:
Свойство
15.1. Если
,
то
.
Доказательство очевидно.
Свойство
15.2. (линейность градиента).
Пусть даны два векторных поля
и
,
которые имеют градиент в точке
,
тогда
,
где
и
‑ действительные числа.
Доказательство. Доказательство основано на свойстве линейности частных производных
Конец доказательства.
Определение
15.3. Производной
по направлению, заданным единичным
вектором
,
в точке
от функции нескольких переменных
называется величина
.
Связь между градиентом и производной функцией по направлению определяется теоремой
Теорема 15.1. Если в точке функция дифференцируема, то
.
где ‑ вектор единичной длины.
Доказательство.
Пусть
приращение аргумента, тогда полное
приращение дифференцируемой функции
равно
,
где
‑ бесконечномалые функции при
.
Так как
,
то полное приращение функции равно
.
Отсюда следует доказываемая формула.
Конец доказательства.
Рассмотрим свойства производной по направлению
Свойство
15.1. Если
,
то
.
Доказательство очевидно.
Свойство 15.2. Изменение вектора направления на противоположный меняет знак производной по направлению
.
Доказательство. Формула следует из равенства
.
Конец доказательства.
Свойство 3. (линейность производной по направлению). Пусть даны два дифференцируемых векторных поля и , тогда
,
где и ‑ действительные числа.
Доказательство. Из теоремы 15.1 следует
Конец доказательства.
Теорема 15.2. Градиент дифференцируемой функции в точке указывает на направление наискорейшего возрастания функции в точке .
Доказательство. Действительно, производная по направлению указывает на скорость возрастания функции в указанном направлении. Так как ( ‑ угол между векторами)
,
то
производная по направлению будет
максимальна, если
,
то есть если вектор
будет параллелен градиенту.
Конец доказательства.
Пример
15.1. Вычислить
производную по направлению вектора
от функции
и градиент в точке M(1,3).
.
Вектор
тогда
.
Конец примера.
Замечание
15.1. В некоторых
случаях удобно пользоваться такими
понятиями как направляющие косинусы.
Под этим понимают косинус угла между
направляющим вектором и соответствующей
осью координат. Если
‑
единичный вектор, то направляющие
косинусы определяются из соотношения
,
где
‑ орт декартовой системы.
Теорема 15.2. Градиент функции перпендикулярен линии или поверхности равного уровня.
Доказательство.
Ограничимся функциями 2-х переменных
и докажем, что градиент перпендикулярен
линии постоянного уровня, то есть в
любой точке линии постоянного уровня
градиент перпендикулярен касательной,
проведенной к этой точке. Для функции
2-х переменных можно показать, что
уравнение касательной к линии
в точке
равно:
.
Откуда
следует, что градиент функции
перпендикулярен вектору
,
то есть самой касательной.
Определение
15.5. Нормалью
к графику функции
в точке
называется прямая перпендикулярная
любой касательной в этой точке плоскости.
Так как уравнение касательной в точке
плоскости имеет вид
,
то
вектор с координатами
будет параллелен нормали в точке
,
следовательно, уравнение нормали
.
Пример
15.2. Для
функции
вычислить в точке
уравнение касательной плоскости и
нормали.
,
тогда получаем:
уравнение касательной плоскости
,
уравнение нормали
.
Конец примера.