Вопрос 17.2. Необходимое и достаточное условие существования локального экстремума функции нескольких переменных.

Теорема 17.1. Пусть имеет в точке локальный экстремум. Если функция дифференцируема в окрестности , то

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Эта функция одной переменной и она имеет в точке локальный экстремум. Так как существует, то , но тогда

.

Конец доказательства.

Пример 17.2. Функция имеет в точке (0,0) локальный экстремум и

,

и в точке локального экстремума

.

Конец примера.

Определение 17.4. Точки функции , в которых все ее частные производные 1-го порядка равны 0, называются стационарными.

Из теоремы 17.1 следует, что точки локального экстремума следует искать среди стационарных точек, однако не всякая стационарная точка есть точка локального экстремума, что следует из примера

Пример 17.3. .

Приравнивая произвдыне к 0, получим x=0 и y=0, но в стационарной точке (0,0) экстремума нет, так как в любой ее окрестности есть точки в которых или .

Конец примера.

Рассмотрим теперь достаточные условия существования экстремума функции нескольких переменных, ограничившись случаем функции двух переменных.

Теорема 17.2. (Достаточные условия существования локального экстремума). Пусть имеет непрерывные производные вплоть до второго порядка включительно и пусть есть стационарная точка функции. Тогда

1) если ‑ то - точка локального экстремума, причем

если , то ‑ точка локального минимума,

если , то ‑ точка локального максимума,

2) если ‑ то не является точкой локального экстремума,

3) Если ‑ то не является точкой локального экстремума.

где

.

Доказательство. Так как стационарная точка функции, то . Тогда, разлагая в этой точке, получим

или

Введем разности . Тогда получим, с учетом того, что частные производные непрерывны

Введем обозначения

.

Тогда

Пусть , тогда выделяя полный квадрат, получим

или

Если величина , тогда разность сохраняет знак, то есть в точке существует локальный экстремум, причем если , то в этой точке локальный минимум, если , то локальный максимум.

Пример 17.3. Пусть . Найдем стационарные точки функции

Решая систему, найдем и . То есть стационарной точкой является точка . Найдем вторые производные

.

и вычислим определитель

.

Тогда в точке ‑ локальный минимум.

Конец примера.

Лекция № 18. Функции нескольких переменных.

Вопрос 18.1. Неявные функции.

Определение 18.1. Говорят, что уравнение определяет неявную функцию, если существует такая функция , что для всех допустимых значений x выполняется тождество .

Пример 18.1. , это уравнение определяет две неявные функции

.

Конец примера.

Условия существования неявной функции определяет следующая теорема

Теорема 18.1. Пусть функция непрерывна по y на прямоугольнике и . Тогда на отрезке существует, по крайней мере, одна заданная уравнением неявная функция.

Доказательство. Функция для каждого фиксированного x непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков. Тогда найдется хотя бы одно значение y, при котором , и, следовательно, . Это означает, что существует неявная функция, определяемая уравнением .

Конец доказательства.

Пример 18.2. .

На квадрате имеем для x из отрезка [0,1]. для всех и . Так как , то существует хотя бы одна функция, удовлетворяющая уравнению .

Конец примера.

Теорема 18.2. Пусть для функции выполнены условия теоремы 18.1 и при всяком фиксированном x из отрезка функция монотонна по y. Тогда неявная функция, определяемая уравнением , единственна на отрезке .

Доказательство. Функция , введенная в теореме 18.1, теперь монотонна, поэтому она пересекает ось y только один раз, и, следовательно, каждому x соответствует только одно y для которого , то есть неявная функция единственна.

Конец доказательства.

Следствие 18.1. Если для функции выполнены условия теоремы 18.1 и при всяком фиксированном x из интервала производная сохраняет свой знак на , то уравнение задает неявную функцию.

Доказательство. Пусть выполнено неравненство , тогда при фиксированном значении x функция монотонна по переменной y. Аналогично устанавливается монотонность при выполнении условия . Отсюда, по теореме 18.3, следует единственность неявной функции.

Конец доказательства.

Пример 18.3. Для функции получаем , то есть неявная функция определяется из уравнения единственным образом на квадрате из примера 18.2.

Конец примера.