Лекция № 4 неопределенный интеграл.
Вопрос 4.1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
Определение 4.1. Многочленом двух переменных x и y называется функция вида
.
Конец определения.
Пример
4.1.
‑ многочлен второй степени двух
переменных.
Конец примера.
Определение 4.2. Рациональной функцией двух переменных x и y называется отношение двух многочленов:
.
Конец определения.
Пример 4.2.
.
Конец примера.
Определение 4.3. Функция вида
.
называется дробно-линейной иррациональностью, где R рациональная дробь двух переменных.
Конец определения.
Аналогично определяются рациональные функции трех и более переменных.
a)
Интеграл вида
вычисляется
с помощью подстановки
.
Пример
4.3. Вычислить
интеграл
.
Конец примера.
б) Интеграл вида
где
,
рациональные числа, вычисляется с
помощью подстановки
,
где r
‑ наименьший общий знаменатель
дробей
.
Пример 4.4.
Конец примера.
Вопрос 4.2. Интегрирование квадратичных иррациональностей.
а)
Интеграл вида
выделением полного квадрата сводится к интегрированию табличных интегралов
или
.
Пример 4.5.
Конец примера.
б)
Интеграл вида
вычисляется по методу неопределенных коэффициентов
,
где
‑ многочлен с неопределенными
коэффициентами, l
- неопределенное число.
Пример 4.6.
.
Дифференцируя по x, получим
,
или
,
откуда A=1,
l=1,
и, следовательно,
Конец примера.
в)
Интеграл вида
вычисляется
заменой
.
Пример 4.7.
Конец примера.
Лекция № 5 неопределенный интеграл.
Вопрос 5.1. Интегрирование тригонометрических выражений.
a)
Интегралы вида
.
1)
если
‑ нечетное натуральное число, n
‑ любое вещественное число, то
2)
если
‑ нечетное натуральное число, m
‑ любое вещественное число, то
Пример 5.1.
Конец примера.
3)
‑ четные числа. Степени понижаются
посредством перехода к двойному
аргументу по формулам:
.
Пример 5.2.
Конец примера.
4)
Если
,
где k
‑ целое число, то делается подстановка
или
.
Пример 5.3.
.
Конец примера.
5)
Если
‑ отрицательное нечетное число,
n ‑ целое
число, то делается подстановка
.
Пример 5.4.
Конец примера.
6)
Если
‑ отрицательное нечетное число, m
- целое число, то делается подстановка
.
Пример 5.5.
Конец примера.
b)
Интегралы вида
Для вычисления интегралов используются тригонометрические формулы:
.
Пример 5.6.
Конец примера.
с)
Интегралы вида
,
где
‑ рациональная функция двух переменных
u, v.
I) Универсальная тригонометрическая подстановка
,
,
.
Универсальная
тригонометрическая подстановка сводит
интеграл к интегралу от рациональной
функции:
.
Пример 5.7.
Конец примера.
II)
Если выполнено равенство
,
то более подходит подстановка
.
Тогда получаем
Эта подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.
Пример 5.8.
Конец примера.