Лекция № 30. Дифференциальные уравнения.
Вопрос 30.1. Линейные дифференциальные уравнения старших порядков.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
.
Решение
его будем искать в виде
,
тогда получаем
и
.
После
сокращения на
получаем харктеристическое уравнение
.
Теорема 30.1. Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами всегда имеет фундаментальную систему решений из n линейно независимых решений. Если при этом p простой вещественный корень характеристического равнения, то ему в Ф.С.Р. соответствует решение . Если p вещественный корень кратности r, то ему в Ф.С.Р. соответствует r решений
.
Если
пара комплексных корней кратности r,
то им соответствуют r
пар решений
Пример
30.1.
.
Составим характеристическое уравнение
,
или
Тогда
.
Конец примера.
Пусть теперь дано линейное неоднородное уравнение n-го порядка
.
Общее решение этого уравнения как легко доказать есть сумма общего решения линейного однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. В общем случае, решение можно найти методом вариации постоянных, который для уравнений старших порядков быстро становится громоздким с ростом порядка.
Если
или
,
то y(x) ищется по тем же правилам, что и для уравнений 2-го порядка:
Þ
,
где
r ‑ кратность корня a характеристического уравнения (r=0 если a не корень этого уравнения),
‑ многочлен
порядка n
с неопределенными коэффициентами.
Þ
,
где
r
‑ кратность корня a
характеристического уравнения (
если a
не корень этого уравнения),
‑ многочлены
порядка
с неопределенными коэффициентами.
Пример
30.2.
.
Составим
характеристическое уравнение
,
его корни
.
Им соответсвуют решения
.
Отсюда, получаем общее решение однородного уравнения
.
Частное
решение ищем в виде
,
так как a=1
не корень характеристического уравнения.
Вычислим производные
,
и подставим в исходное уравнение
.
Отсюда
находим общее рещение
.
Конец примера.
Вопрос 30.2. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение 30.1. Системой линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется система вида
Если
правые части
и
тождественно равны 0, то система
называется однородной, в противном
случае ‑ неоднородной. Решением
системы будем называть две функции
и
,
которые при подстановке в систему
обращают ее уравнения в тождества.
Решение системы иногда удобно записывать
в виде вектор столбца
.
В дальнейшем будем рассматривать только линейные однородные системы. Рассмотрим 1-й метод решения (метод исключения, сводящий систему к линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами).
Продифференцируем 1-е уравнение системы:
и
подставим сюда
из второго уравнения
.
Теперь исключим y с помощью первого уравнения, тогда получим
или
.
Таким образом, получили уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение
.
Зная
корни характеристического уравнения,
находим Ф.С.Р.
,
а затем получим
.
Пример
30.3.
Составим характеристическое уравнение
.
отсюда
.
Общее решение
,
,
или
.
Конец примера.
Рассмотрим второй метод решения, будем искать решение ввиде
.
Подставим в систему, получим
Отсюда,
сокращая на
и группируя, получим
Эта
система имеет не нулевые решения
,
если ее главный определитель отличен
от нуля
.
Это уравнение называется характеристическим. Раскрывая, получим
.
Пусть
его дискриминант
(мы ограничемся только этим случаем),
тогда имеются два вещественных корня
и
,
которым соответствуют два решения
,
где
‑ решения системы (1) при
,
‑ решения системы при
.
Общее решение системы этих уравнений
будет
.