Лекция № 28. Дифференциальные уравнения
Вопрос 1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений.
Рассмотрим линейное дифференциальное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
.
Будем
искать решение этого уравнения в виде
.
Вычисляя производные
и подставляя их в уравнение, получим
Так
как
,
то сокращая на l,
получим квадратное уравнение для
определения l
.
Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением. Рассмотрим следующие три случая:
1) характеристическое уравнение имеет разные вещественные корни, то есть его дискрименант строго положителен (D > 0).
Обозначим
эти корни через
.
Тогда получаем два решения
Эти решения образуют Ф.С.Р., так как их определитель Вронского отличен от нуля в точке x = 0
Следовательно, общее решение этого уравнения дается формулой
.
2) характеристическое уравнение имеет один вещественный корень l, то есть его дискрименант D = 0.
В
этом случае имеется одно решение
.
Зная его, найдем второе решение
,
используя формулу (смотри лекцию № 8)
Так
как D = 0,
то
.
Поэтому получаем
следовательно,
.
Итак фундаментальная система решений имеет вид
Общее решение уравнения есть
3)
характеристическое уравнение имеет
комплексные корни
,
то есть его дискрименант D
< 0.
Тогда имеется два решения
.
Эти решения являются комплексными функциями вещественного аргумента x. Удобно искать решения в виде вещественных функций. Для этого используем формулы Эйлера
,
.
Тогда получим
,
,
Возьмем полусумму и полуразность этих решений
Тогда мы получим Ф.С.Р. , что легко подтвердить, вычисляя определитель Вронского
.
Вычисляя его при x = 0, получим
Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид
ПРИМЕР
1. Найти общее решение уравнения
.
Составляем
характеристическое уравнение
.
Его корни равны
,
тогда Ф.С.Р. есть
,
,
отсюда
находим общее решение уравнения
.
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения .
Составляем
характеристическое уравнение
.
Оно имеет один корень
,
тогда Ф.С.Р. есть
,
,
отсюда
находим общее решение уравнения
.
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
ПРИМЕР
3. Найти общее решение уравнения
.
Составляем
характеристическое уравнение
.
Оно имеет комплексные корни
,
тогда Ф.С.Р. есть
,
,
отсюда
находим общее решение уравнения
.
Конец примера.
Вопрос 28.2. Метод вариации постоянных коэффициентов.
Если известна фундаментальная система решений, то общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно найти методом вариации постоянных. Суть метода состоит в следующем. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид (смотри предыдущие лекции)
,
где
и
- фундаментальная система решений. В
методе вариации постоянных вместо
постоянных
и
записываются неизвестные функции,
которые нужно найти. Таким образом
общее решение линейного неоднородного
уравнения
ищется в виде
.
Вычислим y' и y''
Потребуем,
чтобы
,
тогда получим
Дифференцируя еще раз, найдем
Подставляя в уравнение, получим после группировки слагаемых
Выражения стоящие в квадратных скобках равны нулю, так как и есть решения линейного однородного дифференциального уравнения. Тогда
Таким образом получаем дифференциальных уравнений
Эта система уравнений всегда имеет решение, так как ее главный определитель есть определитель Вронского, и поэтому отличен от нуля
.
Составим два вспомогательных определителя
и
Тогда по правилу Крамера получим
Интегрируя
каждое уравнение, найдем
и
.
ПРИМЕР
4. Решить уравнение
Составим систему
Вычислим ее главный и вспомогательный определители
,
Тогда по правилу Крамера
Интегрируя, найдем
Тогда согласно методу вариации постоянных получим общее решение
Конец примера.