Вопрос 21.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение 21.2. Дифференциальное уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением.

Покажем, что однородное дифференциальное уравнение подстановкой сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно , тогда или

,

то есть переменные разделились.

Пример 21.3. Решить уравнение .

Подстановкой получим или .

Разделяя переменные, найдем

.

Конец примера.

Рассмотрим теперь уравнения вида

.

Покажем, что подстановкой уравнение сводится к однородному уравнению. Считаем, что , тогда . Теперь получаем

.

Выберем n и m так, чтобы

Эта система уравнений всегда имеет единственное решение, если главный определитель отличен от нуля

.

Пусть n и m удовлетворяют этой системе, тогда получим

,

однородное дифференциальное уравнение.

Пример 21.3. Решить уравнение .

, тогда положим , причем n и m удовлетворяют системе уравнений

,

тогда и .

Выполнив замену и подставив в уравнение, получим

или .

Разделяя переменные, найдем

.

Пусть , тогда получим

.

Интегрируя почленно, получим

.

Подставляя , получим

,

где

.

Лекция № 22. Дифференциальные уравнения.

Вопрос 22.1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение 22.1. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

,

где и непрерывные на отрезке функции. Если , то линейное уравнение называется однородным, в противном случае уравнение называется неоднородным.

Рассмотрим вначале однородное уравнение

.

Найдем его общее решение, разделяя переменные.

где одна из первообразных для функции . Тогда

,

или

,

,

,

Пример 22.1. .

.

Конец примера.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

.

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения

,

где любое частное решение однородного уравнения . Дифференцируя по x

и подставляя в уравнение, получим

.

Группируя слагаемые, найдем

.

Но , так как частное решение. Тогда

или .

Интегрируя, получим

.

Тогда .

Отсюда получаем, что

.

Первое слагаемое здесь является общим решением однородного уравнения, а второе - частным решением неоднородного уравнения. Таким образом, приходим к теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения 1-го порядка.

Теорема 22.1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.

Пример 22.2. Пусть .

‑ решение однородного уравнения, тогда

Откуда

.

Поэтому

.

Конец примера

Вопрос 22.2. Уравнение Бернулли.

Определение 22.2. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

.

Уравнение Бернулли подстановкой сводится к линейному уравнению. Действительно, деля на

,

и учитывая, что , получим

.

Это уже линейное неоднородное уравнение, метод решения которого известен. Другой способ решения аналогичен способу решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Ищем решение уравнения в виде , где есть частное решение линейного однородного дифференциального уравнения , то есть

.

Тогда подставляя в уравнение, получим

Так как , то или . Разделяя переменные, найдем

или

.

Отсюда

.

Пример 22.3.

, тогда

Так как , то или .

Разделяя переменные, найдем

Отсюда

или заменив

.

Конец примера.