Лекция № 1. Неопределенный интеграл.

Вопрос 1.1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Определение 1.1.1. Функция называется первообразной для функции на интервале , если для всех x из интервала .

Конец определения.

Очевидно, что если первообразная для функции , то и тоже первообразная для . Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1.1.1. Если и две первообразные для функции , то они отличаются на константу.

Доказательство. Так как выполняются равенства , , то, вычитая из первого равенства второе, получим

.

Из равенства нулю производной, заключаем, что разность функций принимает постоянное значение, откуда и следует доказываемое утверждение

.

Конец доказательства.

Определение 1.1.2. Неопределенным интегралом от функции на интервале называется множество всех ее первообразных, которое обозначается символом

.

Конец определения.

Свойства неопределенного интеграла:

1) ,

2) .

Доказательство. Доказательство следует из равенства:

.

Конец доказательства.

3) .

Доказательство. Пусть и есть первообразные для функций и соответственно. Тогда сумма есть первообразная для функции , и, следовательно, справедливо равенство

.

Поскольку равенство неопределенных интегралов понимается с точностью до константы, то отсюда следует доказываемое соотношение.

Конец доказательства.

4) .

Доказывается аналогично 3-ему свойству.

5) .

Доказательство. Пусть есть первообразная для функции , тогда функция есть первообразная для функции , отсюда получаем

,

где учтено, что . Отсюда, по тем же причинам, что и в доказательстве свойства 3 следует справедливость свойства 4.

Конец доказательства.

6) .

Доказательство. Пусть есть первообразная для функции , тогда функция есть первообразная для функции

.

Отсюда получаем

.

Конец доказательства.

Вопрос 1.2. Таблица интегралов.

Таблица интегралов играет в высшей математике такую же важную роль, что и таблица производных. Она состоит из наиболее часто встречающихся интегралов от элементарных функций. Эти интегралы получаются с помощью таблицы производных из определения неопределенного интеграла.

.

1. .

2. .

3. .

.

4. .

5. .

6.

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14.

15. .

Докажем например формулу 2. Вычислим производную от . Если , то , тогда . Если , то , тогда . Поэтому .

Замечание 1.1. Некоторые интегралы могут быть выражены через другие функции.

Например:

,

,

,

где ‑ аркгиперболический синус (функция ‑ обратная к гиперболическому синусу) и ‑ аркгиперболический тангенс (функция ‑ обратная к гиперболическому тангенсу) 

Лекция № 2. Неопределенный интеграл.

Вопрос 2.1. Замена переменных в неопределенном интеграле.

В подавляющем большинстве случаев сведение неопределенного интеграла к табличному или сумме табличных интегралов возможно только при использовании замены переменных. Справедлива следующая теорема

Теорема 2.1. Пусть дан неопределенный интеграл и дифференцируемая функция , тогда справедливо равенство

,

если существует неопределенный интеграл в правой части.

Доказательство. Два неопределенных интеграла равны, если равны производные от них:

.

Тогда вычисляя производные от интегралов

,

.

убеждаемся в равенстве производных, а следовательно и в равенстве самих производных.

Конец доказательства.

Замечание 2.1. Если формулу применять слева на право, то метод называют методом замены переменных.

Замечание 2.2. Если формулу применять справа налево, то метод называют методом подведения множителя под знак дифференциала.

Пример 2.1. .

Конец примера.

Пример 2.2.

.

Конец примера.

Пример 2.3.

.

Конец примера.

Пример 2.4.

Конец примера.