Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Кубанский государственный технологический университет

(КубГТУ)

Кафедра общей математики

И.В. Терещенко И.В., А.В. Братчиков

М А Т Е М А Т И К А

Часть 2

Конспект лекций для студентов заочной формы обучения факультета Нефти, Газа и Энергетики всех специальностей

Краснодар

2006

УДК:

Математика. Часть 2:

Конспект лекций/И.В. Терещенко, А.В. Братчиков; Кубан. гос. технол. ун-т.-Краснодар : Издательство КубГТУ, 2006.-127с.

ISBN………..

Рассмотрены основные вопросы курса математики по разделам «Интегральное исчисление», «Функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», изучаемые во втором семестре.

Предназначено для студентов заочной формы обучения факультета Нефти, Газа и Энергетики всех специальностей.

Ил. 10. Библиог.: 40 назв.

Рецензенты: канд. тех. наук, Доцент Л.М. Данович;

д-р тех. наук, профессор Г.Т. Вартумян

© Кубанский государственный технологический университет, 2006

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ЛЕКЦИЯ № 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. …...…….………….7

Вопрос 1.1. Первообразная и неопределенный интеграл. …….…….……....7

Вопрос 1.2. Таблица интегралов. ……………………………………………..9

ЛЕКЦИЯ № 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. …………………...10

Вопрос 2.1. Замена переменных в неопределенном интеграле. …………..10

Вопрос 2.2. Метод интегрирования по частям. …………………………….12

ЛЕКЦИЯ № 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ……………….…..13

Вопрос 3.1. Рациональные дроби. …………………………………………...13

Вопрос 3.2. Разложение многочлена на множители. ………………………14

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби. ………………………………………………………………………….17

Вопрос 3.4. Интегрирование простейших дробей. ………………………....19

Вопрос 3.5. Примеры интегрирования рациональных дробей. …………...21

ЛЕКЦИЯ № 4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ……………………25

Вопрос 4.1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. ……25

Вопрос 4.2. Интегрирование квадратичных иррациональностей. ………...26

ЛЕКЦИЯ № 5 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ……………………28

Вопрос 5.1. Интегрирование тригонометрических выражений. …………..28

ЛЕКЦИЯ № 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ………………………31

Вопрос 6.1. Интегральная сумма Римана. …………………………………..31

Вопрос 6.2. Определенный интеграл.

Вопрос 6.3. Свойства определенного интеграла.

ЛЕКЦИЯ № 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Вопрос 7.1. Аддитивность определенного интеграла.

Вопрос 7.2. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона ‑ Лейбница).

Вопрос 7.3. Замена переменных в определенном интеграле.

Вопрос 7.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Вопрос 7.5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

ЛЕКЦИЯ № 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Вопрос 8.1. Формула трапеций.

Вопрос 8.2. Формула прямоугольников.

Вопрос 8.3. Формула Симпсона.

ЛЕКЦИЯ № 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Вопрос 9.1. Вычисление площадей плоских фигур.

Вопрос 9.2. Вычисление площади криволинейного сектора.

Вопрос 9.3. Вычисление объема тел.

Вопрос 9.4. Площадь поверхности тела вращения.

ЛЕКЦИЯ № 10 ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

Вопрос 10.1. Длина плоской кривой.

Вопрос 10.2. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

ЛЕКЦИЯ № 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Вопрос 11.1. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Вопрос 11.2. Несобственные интегралы от функции, имеющие несколько особенностей.

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла.

ЛЕКЦИЯ № 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 12.1. Функции нескольких переменных. Основные понятия и определения.

Вопрос 12.2. Предел последовательности точек в n-ом пространстве.

ЛЕКЦИЯ № 13. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 13.1. Предел функции нескольких переменных.

Вопрос 13.2. Непрерывность функции нескольких переменных.

Вопрос 13.3. Частные производные функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ № 14. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 14.1. Дифференциал функции нескольких переменных.

Вопрос 14.2. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 15.1. Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ № 16. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 16.1. Частные производные и дифференциалы старших порядков.

Вопрос 16.2. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ № 17. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 17.1. Локальный экстремум функции нескольких переменных.

Вопрос 17.2. Необходимое и достаточное условие существования локального экстремума функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ № 18. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 18.1. Неявные функции.

Вопрос 18.2. Дифференцирование неявной функции.

ЛЕКЦИЯ № 19. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 19.1. Условный экстремум.

Вопрос 19.2. Функция Лагранжа и множители Лагранжа.

ЛЕКЦИЯ № 20. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 20.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

ЛЕКЦИЯ № 21. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Вопрос 21.1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Вопрос 21.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

ЛЕКЦИЯ № 22. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 22.1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Вопрос 22.2. Уравнение Бернулли.

Вопрос 22.3. Уравнения в полных дифференциалах.

ЛЕКЦИЯ № 23. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 23.1. Уравнения вида .

Вопрос 23.2. Уравнения вида .

Вопрос 23.3. Уравнение вида .

Вопрос 23.4. Уравнения вида .

Вопрос 23.5. Уравнения вида , где - однородная функция k-го порядка относительно .

ЛЕКЦИЯ № 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 24.1. Метод Пикара (метод последовательных приближений).

Вопрос 24.2. Разностные методы дифференциальных уравнений. Метод Эйлера.

ЛЕКЦИЯ № 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 25.1. Метод Рунге-Кутта.

Вопрос 25.2. Устойчивость, сходимость разностного метода. Влияние ошибок округления.

ЛЕКЦИЯ № 26. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 26.1. Линейные дифференциальные уравнения. Основные определения и классификация.

Вопрос 26.2. Задача коши для линейного дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности.

Вопрос 26.3. Общие свойства линейных уравнений.

Вопрос 26.4. Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского.

Вопрос 26.5. Уравнение Лиувилля. Формула Лиувилля.

ЛЕКЦИЯ № 27. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 27.1. Следствия из формулы Лиувилля.

Вопрос 27.2. Фундаментальная система решений (ФСР).

ЛЕКЦИЯ № 28. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Вопрос 1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений.

Вопрос 28.2. Метод вариации постоянных коэффициентов.

ЛЕКЦИЯ № 29. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 29.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

ЛЕКЦИЯ № 30. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 1. Линейные дифференциальные уравнения старших порядков.

Вопрос 30.2. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Список литературы ……………………………………………………….157