52 Вопрос

Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Квадратичной иррациональностью называется выражение вида: где a, b, c – некоторые вещественные числа, R(x, y)-рациональная функция от двух переменных.

Будем считать, что квадратный трехчлен не имеет кратных корней. Покажем, что интеграл от выражения такого типа рационализируется с помощью подстановки Эйлера.

Рассмотрим сначала случай, когда квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Так как трехчлен стоит под знаком квадратного радикала, то его значения должны быть не отрицательны . Покажем в этом случае, что может быть использована первая подстановка Эйлера.

найдем значения х через величину t.

Найдем величину дифференциала dx:

.,

То есть дифференциал х является рациональной функцией.

Найдем выражение для квадратного радикала:

Таким образом, квадратичная рациональность интеграла принимает вид:

Если величина С неотрицательна, то для рационализации может быть использована вторая подстановка Эйлера.

введем новую переменную

_,

_, ,

,

Видим, что вторая подстановка Эйлера рационализирует. Рассмотрим случай, когда имеет действительные корни, то есть его мы можем представить в виде выражения: , где - корни квадратного трехчлена. Обычно третью подстановку Эйлера, которая имеет вид:

,

,

,

,

Таким образом квадратичная иррациональность примет вид:

Интегрирование биноминального дифференциала.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение вида: (1), где a, b - некоторые вещественные числа. m, n, p - рациональное числа.

Известно три случая интегрирования биноминального дифференциала.

I) p-целое число. Биноминальный дифференциал превращается в дробно-линейную иррациональность, , где -наименьшее общее кратное знаменателей m и n.

51 Вопрос

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

Рассмотрим вопрос о интегрировании выражения , где - некоторая рациональная функция от двух переменных. Покажем, что рационализируется с помощью универсальной тригонометрической подстановкой, , выразим величины sin x и cos x через tg половинного аргумента:

аналогично легко получить выражения cos x:

, видим, что величины sin x и cos x рационально выражаются через переменную t, осталось показать, что дифференциал dx также рационально выражается через переменную t.

Таким образом, видим, что рассматриваемый интеграл сводится к рациональной функции от единой переменной.

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Дробно-линейной иррациональностью называется, выражение вида: , где n-натуральное число.

Покажем, что иррациональность такого типа убирается с помощью подстановки ,

то есть получили интеграл от переменной t.