58 Вопрос

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.

Рассмотрим некоторое тело Т…

Предположим, что известна площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси ox. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет являться функцией от переменной х. Будем считать, что , есть непрерывная функция на отрезке . Проведем плоскости , эти плоскости разбивают тело на слои, в каждом частичном отрезке выберем точку . Проведем через точку плоскость перпендикулярную оси ox. Соответствующая площадь . На основании выделенного сечения построим цилиндр с образующей параллельной оси ох, объем цилиндра равен , объем всех построенных таким образом цилиндров (1). Объемом тела Т принято считать предел суммы (1) при и при стремление диаметра разбиения к 0.

, => при известных площадях сечений, вычисление объема тела сводится к вычислению определенного интеграла.

Объём вращения тела

Вычислим объем тела, получаемый от вращения криволинейной трапеции вокруг оси ох.

В каждом сечении тела плоскостью перпендикулярной оси х получим круг, площадью которого и объем тела вращения

Площадь поверхности тела вращения

Рассмотрим тело, получаемое вращением криволинейной трапеции.

Будем предполагать, что функция непрерывная и имеет непрерывную производную во всех точках отрезка . Разобьём кривую на точки и проведем хорды . Длины хорд обозначим через . Каждая хорда длины при вращение опишет усеченный конус, площадь поверхности которого:

, где

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, следовательно, на отрезке существует точка такая, что , следовательно площадь поверхности усеченного конуса может быть представлена в виде: .

Площадь поверхности, образованная всеми усеченными конусами, определяется:

Принято считать, что площадь поверхности тела вращения определяется пределом:

(3)

Таким образом необходимо вычислить предел (3)

- интегральная сумма

, где и - бесконечно малая величина при . Подставляя выражение и в (3), получаем:

Величина первого предела определяется определенным интегралом:

Сумма двух бесконечно малых величин представляет собой бесконечную малую величину, поэтому второй предел можно представить в виде:

, где - бесконечно малая величина.

Оценим выражение, стоящее под знаком второго предела. По определению бесконечно малой величины для положительной величины найдется такое положительное число б, что для всех величин будет выполняться неравенство: .Следовательно,

Таким образом показали, что второй предел равен нулю при и при стремлении диаметра разбиения к 0. Таким образом, площадь поверхности тела вращения при сделанных ограничениях на функцию определяется выражением:

.