50 Вопрос

Интегрирование рациональных выражений

Не смотря на то, что операция интегрирования выводит за пределы класса элементарных функций, существуют достаточно широкие классы функций интегралы от которых выражаются через элементарные функции. Наиболее важным из таких классов является класс рациональных функций. Функция R(x) – называется рациональной, если она выражается через отношение двух алгебраических многочленов.

, где функция называется также рациональной дробью. Дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена стоящего в знаменателе – m<n. В противном случае дробь называется неправильной. Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Теорема: пусть - правильная рациональная дробь, с вещественными коэффициентами, знаменатель которой можно представить в виде:

Тогда для этой правильной дроби, справедливы следующие разложения на сумму простейших дробей:

+…+ +

+ + , где

-некоторые вещественные постоянные, часть из которых может равняться нулю.

На практике для разложения правильной дроби на сумму простейших дробей, используется метод неопределенных коэффициентов.

49 Вопрос

Основные методы интегрирования.

1.Непосредственное интегрирование.

Непосредственным интегрированием называется вычисление неопределённого интеграла с помощью таблицы производных тождественные преобразования функции и указанных ранее свойств неопределённого интеграла.

- применяем 3-е свойство неопределённого интеграла таблицы интегралов.

2.Интегрирование заменой переменной (метод подстановки).

Замена переменной x – это один из самых эффективных методов интегрирования. , причём непосредственное интегрирование не удается, сделаем замену переменной. (3) где - непрерывная дифференцируемая функция, обладающая обратной, в этом случае дифференциал будет равен: ,подынтегральное выражение можно записать в виде: .

Докажем справедливость соотношения (4)

(4)

Правая часть соотношения (4) понимается, как выражение от x, получаемое из первообразной, стоящей в правой части, переходим от переменной t к переменной x. Для доказательства соотношения (4) вычислим производную по x от обоих частей равенства.

Вычислим производную по x от правой части равенства.

Таким образом доказано соотношение (4).

3. Интегрирование по частям.

К числу весьма эффективных методов интегрирования относится интегрирование по частям.

Рассмотрим две дифференцируемые функции на интервале (a, b).

откуда следует, что откуда получаем, что .

Интегрируя левую и правую часть получим:

(5)

Формула (5) позволяет заменять вычисление интеграла на . Вычисление интеграла по формуле (5) называется интегрирование по частям.