55 Вопрос

Оценки интеграла.

1.Если функция интегрируема на отрезке и неотрицательна во всех точках этого отрезка, то интеграл. .

Доказательство: Для доказательства 1-ой оценки заметим, что интегральная сумма:

Необходимо показать, что определённый интеграл также будет неотрицательным. Проведём доказательство методом от противного. Обозначим определённый интеграл:

, предположим, что I<0 , тогда, согласно определению предела, найдется такое разбиение отрезка , то будет выполняться неравенство:

Полученное неравенство возможно только в случае отрицательной интегральной суммы А, так как интегральная сумма не может быть отрицательной, то получим противоречие доказывающее первую оценку.

2.Если функции и интегрируемы на отрезке [a,b] и во всех точках этого отрезка выполняется неравенство , то справедливо неравенство:

Доказательство: согласно условию - 0, и по первой оценке получаем, что . Используя первое свойство определенного интеграла, получаем

что - , откуда вытекает доказываемая оценка

Формула среднего значения.

Теорема: пусть функции и интегрируемы на отрезке [a,b], причем -неотрицательная (неположительная), m, М-точки нижняя и верхняя грани функции на отрезке [a,b], тогда найдется число , удовлетворяющее неравенству , что будет справедливо выражение: = . Если функция -непрерывна, то выражение (1) можно переписать в виде: =

Соотношение (2) вытекает из отношения (1) поскольку непрерывная функция на отрезке [a,b] достигает своих промежуточных значений. Поэтому необходимо доказать соотношение (1) .

Доказательство: функция удовлетворяет неравенству , для всех точек из отрезка [a,b] рассмотрим случай, когда функция неотрицательна, тогда имеем следующее неравенство , причем - функции интегрированные на отрезке [a,b]. Согласно второй оценке имеет место неравенство

:

Так как функция -неотрицательная, то при рассмотренных выше неравенстве необходимо различать 2 случая.

1) , 2)

В первом случае получим, что: , этот интеграл равен нулю и справедливость формулы (1) очевидна.

В о втором случае неравенство можно переписать в виде: , для получения формулы (1) обозначим в качестве величину . ,

Теорема доказана.

Если функция тождественно равна 1 на отрезке [a,b], то формулу (2) можно переписать в виде: =

где - некоторая внутренняя точка принадлежащая отрезку [a,b]. Формула (3) имеет наглядный геометрический смысл.

площадь криволинейной трапеции. -площадь прямоугольника. Площадь криволинейной трапеции можно прировнять к площади прямоугольника, с тем же основанием и высотой равной значению функции в некоторой точки отрезка [a,b].

Формула Ньютона - Лейбница.

Пусть функция интегрируема на отрезке [a,b], точка р [a,b], тогда на отрезке [a,b] можно рассмотреть функцию . - интеграл с переменным верхним пределом. Таким образом, могут быть представлены некоторые функции, не являющиеся элементарными. Например:

-интеграл Пуасано. -интеграл sin.

Теорема: если функция интегрируема на отрезке [a,b], точка р [a,b], то функция дифференцируема в каждой точке непрерывности функции , причем в этих точках имеет место соотношение: = .

Доказательство: пусть функция -непрерывна в точке .

для любого положительного числа , найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех и выполнялось неравенство

из последнего неравенства следует, что :

причем величина х может быть меньше , тогда можно говорить об отрезке , или величина х может быть больше , тогда можно говорить об отрезке . Заметим что в любой точке , принадлежащей выписанным отрезкам, будут выполняться неравенства , так как точка принадлежит отрезку либо , то используя теорему о среднем значении функции , в некоторой точке , можно представить в виде: , причем это представление справедливо, когда . Подставим представление в неравенство, получим: . Используя 4 свойство определенного интеграла -разобьем на два интеграла:

= + = - = , таким образом получаем: , для всех точек удовлетворяющих неравенству . Записав двойное неравенство с помощью модуля, получим: , для всех . Откуда следует согласно определению предела по Коши: , вспоминая определение производной, заключаем, что = . Теорема доказана.

Следствие: любая непрерывная на отрезке [a,b] функция имеет на этом отрезке первообразную, одной из этих первообразных является функция: .

Для получения формулы Ньютона-Лейбница, заметим, что две любые первообразные, отличаются друг от друга на постоянную. Пусть на ряду с функцией , функция имеет первообразную , тогда - =const (4). Рассмотрим соотношение (4) при .

- ; ;

-

- = (5)

Полученная формула (5), называется формулой Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления).

Правило вычисления определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть - непрерывна на [a,b], функция непрерывна на отрезке и имеет на этом отрезке непрерывную производную. непрерывна и определена на , кроме того выполняется соотношение , при сделанных ограничениях имеет место равенство:

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на [a,b] - имеет первообразную согласно формуле Ньютона-Лейбинца:

Сложная функция при сделанных оговорках дифференцируема и при сделанных оговорках будет равна:

По формуле Ньютона-Лейбинца можно записать:

Сравнивая правые части формул 1,2 убеждаемся в справедливости: