Правило Крамера

Пусть дана СЛАУ

Если определитель , то тогда система имеет единственное решение, которое можно записать в , где дельтаК определитель следующего вида , b в kом столбце.

Док-во:

1) система имеет единственное решение. Пусть есть некоторое решение x1=u1,xn=un, показать, что это решения вида

Подставить решения в СЛАУ

Умножим первую строку на алгебраическое дополнение A1k, вторую на A2k…

Сложить все строки между собой. u1(a11,A1k+a21A2k+…+an1Ank)+…+un(a1n,A1k+a2nA2k+…+annAnk)=b1A1k+…+bnAnk – разложение по kму столбцу дельтаK.

Если собрать в определитель, то у него 1 и k столбец одинаковые =0

2) есть ли решение? Покажем, что решение существует. Возьмем и подставим в систему.

решения есть всегда

___________________________________________

Вектора в n-мерном пространстве.

Вектором в n-мерном пространстве будем называть матрицу размера 1*n

т.к вектор можно считать матрицей, то и свойства суммы векторов, умножения вектора на число такие же как у матриц.

Скалярным произведением

Свойства векторов:

1) док-во на том, что вектор=матрица

2)

3)

4)

5)

6)

___________________________________________

Линейная зависимость системы векторов - совокупность векторов будем называть линейно-зависимой системой векторов, если линейная комбинация векторов

Критерий линейной независимости: пусть дана совокупность векторов . Она линейно независима тогда и только тогда, когда выполняется ТОЛЬКО при всех =0.

Док-во: 1)необходимость: пусть линейно независима, тогда выполняется. От противного пусть это не так.

линейно зависим. Противоречие.

2) достаточность: пусть только при лямбда=0. от противного: пусть линейно-зависима. противоречие!

Свойства системы векторов:

???

___________________________________________

Матрицы.Матрица - матрицы А и В имеют один размер, если кол-во строк и столбцов матрицы А = кол-ву строк и столбцов матицы В.

Единичная матрица

Сложение матриц: если матрицы А и В имеют одинаковый размер, то суммой матриц А и В называется матрицы того же размера, состоящая и сумм соответствующих элементов

Произведение матрицы на число: матрица, у которой все элементы умножены на это число

Умножение матриц: матрицу А модно умножить на матрицу В только тогда, когда кол-во столбцов А= кол-ву строк В. В результате будет матрица, у которой А строк и В столбцов.

p –столбец, l-строка, умножение не коммутативно

Свойства суммы матриц:

1) коммутативность А+В=В+А

2)существование нулевого элемента. Существует матрица 0, такая что А+0=0+А=А

3)ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С)

4)(ym)A=y(mA)=m(yA)

5)y(A+B)=yA=yB

6)(y+m)A=yA+mA

Свойства умножения матриц:

1) ассоциативность (А*В)*С

2) док-во: ???

3)пусть матрицы А и В квадратные одного размера, тогда

4) для квадратной матрицы, для которой существует обратная: обратная от обратной=исходная

5) для квадратных матриц: пусть существует А,В,А-1,В-1, значит (АВ)-1=В-1А-1. док-во: АВВ-1А-1=А-1ЕА=АА-1=Е АВВ-1А-1=В-1ЕВ=ВВ-1=Е

6) дов-во:

___________________________________________

Комплексные числа.

Комплексные числа- x*iy, где x,y – обычные числа, i – мнимая единица.

Алгебраическая форма: z=x+iy

Показательная форма:

Тригонометрическая форма: Модуль комплексного числа:

Аргумент комплексного числа:

Сопряженное число: z=x+iy,

Формула Муавра:

Извлечение корня из комплексного числа:

________________________________________________

Обратная матрица: пусть дана А, ни у каждой матрицы если обратная, у нулевой нету.

Теорема о существовании обратной матрицы:

Теорема существования обратной матрицы.

Пусть матрица А квадратная

___________________________________________

Строчным рангом А называется максимальное кол-во линейно независимых строк матрицы.

Столбцовым рангом А называется максимальное кол-во линейно независимых столбцов матрицы

Минорным рангом А называется максимальный размер минора матрицы А отличный от 0.

Теорема о ранге матрицы: строчный, столбцовый минорный ранги равны.

___________________________________________