Рассмотрим односторонние пределы функции:

1) Предел слева lim_x→a-0f(x)=A₁ (x→a становясь меньше);

2) Предел справа lim_x→a+0f(x)=A₂ (x→a становясь больше);

Если a=0 то записывают

lim_x→-0f(x)=A₁ слева

lim_x→+0f(x)=A₂ справа

Если односторонние пределы равны тоесть lim_x→a-0f(x)= lim_x→a+0f(x)=A то предел A в точке х=0 существует и равен односторонним пределам lim_x→af(x)=A. Если односторонние пределы различны A₁≠A₂ или хотя бы один из них не существует, то не существует предел функции в точке x=a.

Опр. А - предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)A при хх0, и x>x0

Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}x0, вып-ся условие xn>x0, f(x)A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(xx0+0)f(x)

________________________________________________

Свойства пределов функции:

1)

Док-во.

2)

3)

4) из опр. По Гейне

5) из опр. По Гейне

6)

7)

8)

________________________________________________

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называетсястро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения:

Пусть дана функция   Тогда :

функция   называется возрастающей на  , если .

функция   называется стро́го возраста́ющей на  , если .

функция   называется убыва́ющей на  , если .

функция   называется стро́го убыва́ющей на  , если .

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

________________________________________________

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел

S∆OCB<S∆OAB<S∆ODB

1/2sin(x)<1/2x<1/2tg(x)

________________________________________________

Второй замечательный предел

________________________________________________

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если  ;

Обратная ф-ия.

Обратная функция: Пусть y=f(x) есть функция от независимой переменой x определённой на множестве X с областью значений y поставим соответствие x принадлежит X единственное значение y при котором f(x)=y тогда получим функцию x=Fi(y) определена на множестве Y с областью значений x называется обратной матрицей т.к. обычно независимую переменную обозначают через x, а функцию через y то обратная к функции y=f(x) примет вид y=Fi(x) обратную функцию можно обозначить y=f^-1(x) графики взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

________________________________________________

Точки разрыва ф-ии. Классификация точек разрыва.

Опр.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции F(x), если F(x) в точке х₀ не является не прерывной.

Разрывы функции классифицируются следующим образом.

1. Разрывы первого рода.

Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции F(x), если в этой точке F(x) имеется конечный левый и правый пределы, не равные друг другу, т.е. lim_x→-x0 F(x)не равен lim_x→+x0 F(x)

2. Разрывы второго рода.

Точка х называется точкой разрыва второго рода функции F(x), если в этой точке функция F(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних крайних пределов или одним из односторонних пределов яв-ся бесконечность.

________________________________________________

Сво-ва непрерывной ф-ии.

1) Пусть ф-ия f(x) b g(x) непрерывна в точке а,тогда непрерывна в точке а. ; .

2) f(x) непр в точке а, g(x) непрерыв в точке а, тогда f(x)*g(x) непрерыв в точке а.

3) f(x) непр в точке а, g(x) непрерыв в точке а, тогда непрерывна в точке а.

________________________________________________

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть f(x), , f(x) непрерывна в точке а, пусть f(a) = b, g(y) непрерывна в точке b, тогда h(x) = g(f(x)) (h – суперпозиция функций f,g)

Док-во:

________________________________________________

Первая теорема Больцано-Коши.

Пусть f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения. Тогда 

Док-во: Пусть , разобьем на f( ) может принимать 3 значения

1)0, то доказано 2)f( )<0, то a1 = ,b1 = b, f(a1)<0, f(b1)>0 3)f( )>0, то a1 = a, b1 = , f(a1)<0, f(b1)>0 Далее сначала.

монотонна, неубывающая, ограниченная монотонна, неубывающая, ограниченная

f(a_n)<0 f(b_n)>0

________________________________________________

Вторая теорема Больцано-Коши

Пусть f(x) непрерывна на [a;b] . Пусть C значение, находящееся между f(a) и f(b), тогда существует

Док-во основано на первой теореме Больцано-Коши.

g(x)=f(x)-C, g(a)=f(a)-C, g(b)=f(b)-C, g(x) непрерывна на [a;b] (по 1 т Б-К)

g(c)=f(c)-C=0, f(c)=C

________________________________________________

Теорема о существовании обратной функции. Пусть f(x) – строго монотонная и непрерывная на множестве X, тогда существует функция

________________________________________________

Первая теорема Вейерштрасса. Пусть f(x) непрерывна на [a;b], тогда f(x) ограниченна на [a;b].

Док-во от противного. Пусть неограниченна сверху. выделена сходящаяся подпоследовательность исп опр по Гейне

противоречие

________________________________________________

Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть f(x) непрерывна на [a;b], тогда f(x) достигает на [a;b] своих точных верхних и нижних граней.. док-во от противного. Пусть не достигает точной верхней грани.

Составим непрерывна на [a;b], g(x)>0 согласно первой теореме Вейерштрасса f(x)<V-1/c противоречие

________________________________________________

Равномерная непрерывность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Пусть функция   непрерывна на отрезке   (или интервале, полуинтервале). Тогда для каждой точки   этого отрезка (интервала, полуинтервала) по заданному   найдется   такое, что

Теорема Кантора f(x) равномерна непрерывна на [a;b] тогда и только тогда, когда она непрерывна на [a,b].

________________________________________________

Дифференцируемость функции

Производной f(x) в точке x0 называется

Теорема о производной обратной функции

Пусть f(x) действует из X в Y,

обратная функция.

Пусть , тогда

Док-во:

________________________________________________

Свойства производных:

1) пусть f(x),g(x) непрерывны в точке x0.

2) ) пусть f(x),g(x) непрерывны в точке x0. 3) ) пусть f(x),g(x) непрерывны в точке x0. ________________________________________________

Лемма о непрерывности функции, имеющей производную

f(x) непрерывна в точке x0.

Док-во.

1) x>x0,

2) x<x0,

=>непрерывность

________________________________________________

Теорема о производной сложной функции

Пусть f(x) дифференцируема в x0 введем h(x)=g(f(x)), тогда док-во. y=f(x),y0=f(x0) ,

________________________________________________

Односторонние производные: производной справа будем называть предел справа

производной слева будем называть предел слева

Если правая производная равна левой производной, то в точке есть производная.

Дифференцируемость: пусть дана функция y=f(x), x0, тогда будем говорить, что функция дифференцируема в x0, если , тогда дифференциалом функции в x0 будем называть

________________________________________________

Теорема о связи между существованием производной и дифференцированием: функция f(x) дифференцируема в x0 тогда и только тогда, когда в x0 существует производная, при этом док-во: 1) пусть дифференцируема.