Первообразная функции.
Пусть дана f(x), будем говорить,что F(x) –
первообр f(x),если ∃F’(x) = f(x).
Неопр интегралом Ф. f(x) наз-ся совокупность
всех ее первообразных:
∫ f(x)d(x) = F(x)+c
Лемма о первообразной функции:
Дано: f(x). F(x) – первообр Ф f(x).
пусть ∃G(x).Для того чтобы G(x) была первообр
f(x) необходимо и достаточно, чтобы ∃С: G(x)=F(x)+c.
Док-во: необходимость:G’(x) = f(x). h(x) = G(x) – F(x)
h(x): h’(x) = G’(x) – F’(x) = f(x) –f(x) = 0.
Согласно лемме о равенстве производных (1) : h(x) = c. G(x) – F(x) = c; G(x) = F(x) +c.
Достаточность:
∃С: G(x) = F(x) + c
G’(x) = F’(x) + 0 = f(x)
________________________________________________
Cвойства неопр интеграла:
#1: ∫ƛf(x)d(x) = ƛ∫f(x)d(x).
Док-во: ∫f(x)d(x) = F(x) + c
F’(x) = f(x)
ƛf(x) = (ƛF(x))’
∫ƛf(x)d(x) = ƛF(x) + c1 = ƛ(∫f(x)d(x) – c) + c1 =
= ƛ∫f(x)d(x) – ƛc + c1 = ƛ∫f(x)d(x) + c2.
#2: f(x) ± g(x) = ∫f(x)d(x) + ∫g(x)d(x)
Док-во: f(x) F(x)
g(x) G(x)
H(x) + c1 = F(x) + c2 ± G(x) + c3
f(x) ± g(x) = f(x) ±g(x)
#3: d(∫f(x)dx) = f(x)dx
d(F(x) + c) = (F(x)+c)’dx = f(x)dx
#4: ∫df(x) = f(x)+c
∫df(x) = ∫f’(x)dx = f(x)+c
#5: ∫f(x)g’(x)dx = f(x)g(x)-∫f’(x)g(x)dx
u = f(x) f’(x)dx = du
v = g(x) g’(x)dx = dv
∫udv = uv - ∫vdu
Док-во: (f(x)g(x))’ = f’(x)f(x)+f(x)g’(x)
f(x)g’(x) = (f(x)g(x))’ – f’(x)g(x)
Домножим на dx:
f(x)g(x)dx = d(f(x)g(x) – f’(x)g(x)dx
∫f(x)g’(x)dx = f(x)g(x)+c - ∫f’(x)g(x)dx=
= f’(x)g(x) - ∫f’(x)g(x)dx
#6: замена переменной в неопр интегр:
f(x) определена на мн-ве X
Пусть φ(t) диф-ма на T
∃ φ’(t) ∀t ∈ T
φ (t) = x
∀t1t2: t1 ≠ t2 φ (t1) ≠ φ (t2)
⇒ ∫f(x)dx = ∫f(φ (t)) φ’(t)dt
________________________________________________
Определенный интеграл
ТУТ отрезок вспомни сам
[а,b ] a = x0˂x1˂x2˂…˂xn = b
разбиение отрезка [а,b]
Δxk = xk+1 – xk - длина каждого отр разбиения
k = 0,1, ……, n-1
ƛ = max Δxk - длина наиб отр
0<=k<=n-1
Определенным интегралом Ф. f(x) на [а,b ] наз-ся:
Частичная интегральная сумма:
________________________________________________
Cуммы Дарбу:
нижней суммой Дарбу наз-ся:
верхней суммой Дарбу наз-ся:
Свойства сумм Дарбу:
#
1:
Док-во:
#2: s1,…S1 - cумма Дарбу соотв разбиения
Пусть разб 2 получится из разб 1 путем
некоторого кол-ва точек:
док-во: не нарушая общности рассуждений, можно сказать,
что в разбиение добавляется всего одна точка
________________________________________________
Критерий интергируемости функции:
Пусть
диаметр разбиения
.
Функция интегрируема тогда и только
тогда, когда
Док-во:
необходимость: пусть функция интегрируема,
интеграл=
Достаточность: по свойствам сумм Дарбу.
если
,
то можно считать, что добавляем точки
в разбиение.
монотонно
возрастает по св2.
рассмотрим
________________________________________________
Теорема об интегрируемости непрерывной
функции
f(x) непр на [а,b ], значит она интегрируема на [a;b].
Док-во:
________________________________________________
Теорема об интегрируемости функции,
имеющей конечное число точек разрыва.
f(x) огран на [а,b ] и непр во всех точках,
кроме конечного числа точек , тогда
f(x) интегрируема на [а,b ]
Рассмотрим Ф. с 1 точкой разрыва:
x* - точка разрыва
x* ∈ [а,b ]
на всех точках разбиения, кроме
x* можно применить теорему об ИНФ
Есть ограниченность:
- для x*
_______________________________________________
Интеграл с переменным верхним пределом(к св-вам интеграла определенного)
= F(x) непр на [а,b ]
Док-во:
используя
свойство 4:
воспользуемся 7 свойством:
f’(t) непрерывна на [а,b ] => F(x)=
Док-во:
согласно 8 св-ву:
________________________________________________
Св-ва опр интеграла:
#1:
Док-во:
#2:
Док-во:
#3: (об ориентированном промежутке)
Док-во:
a=x0, x1,x2,…,xn=b
a=yn,yn-1,…,y0=b
x0=yn,…,xn=y0
xk=yn-k
#4:
Док-во:
с
=xn
#5: a<b
#6: a<b
#7:
Док-во:
#8: теорема о среднем значении интеграла
#9: обобщенная теорема о среднем значении
интеграла:
#10:
________________________________________________
Формула Ньютона-Лейбница:
f(x) непр на [а,b ]
F(x) – некоторая первообразная f(x)
Док-во: по св-ву 12:
-
некоторая первообразная
Высшая алгебра
СЛАУ-
однородная СЛАУ-СЛАУ, в которой все свободные коэффициенты =0, иначе – неоднородная.
Метод Гаусса Решений СЛАУ
1)первой строкой поместить ту строку, у которой коэффициент при первой неизвестной отличен от 0
2) путем эквивалентных преобразований делаем так, чтобы во всех остальных строках коэффициент при первой неизвестной=0
3)путем преставления строк, исключая первую, нужно поставить на место второй строки ту, у которой коэффициент при второй неизвестной отличен от 0.
Если во всех строках, кроме 1 вторые элементы 0, то необходимо переставить столбцы
4)Продолжаем операции до тех пор пока, не останутся на главной диагонали a11,a22,a33… ненулевые (верхнетреугольная матрица)
5) из последнего уравнения выразить Xm и подставить выше. и т.д получить результат.
___________________________________________
Определители:
Определителем
2 порядка -
Определителем
n порядка -
Свойства определителей:
1) Если в определителе есть строка или столбец, состоящий из 0, то такой определитель=0
2)Если какую-нибудь строку или какой-нибудь столбец определителя можно представить в виде(общий множитель строки или столбца можно вынести за определитель)
3)Если в определителе поменять 2 каких-то строки(столбца) местами, то определитель поменяет знак на противоположный. Док-во: меняем местами k и k+1 строчки.
(матрицы нарисовать!)
Общий случай: чтобы поменять местами k и j можно менять последовательно, тогда нужно поменять местами j-(k+1) раз и остальные строки вернуть на место. Знак меняется j-k+j-(k+1)=2j-2k-1 раз
4)Если в определителе есть 2 одинаковые строки(столбца), то определитель = 0. док-во. Если 2 одинаковые строки поменять местами знак должен измениться. Число=-число, значит число=0
5) Если в определителе есть 2 пропорциональные строки(столбца), то определитель = 0. док-во выносим коэффициент пропорциональности за определитель, получается определитель с одинаковыми строками, он = 0
6)
Док-во
7) определитель равен транспонированному определителю.
Док-во методом мат.индукции. пусть доказано до n-1 порядка, тогда для n
8) если к какой-нибудь строке определителя + другую строку,*на некоторое число, то полученный определитель = исходному
___________________________________________
Миноры – определитель, полученный из определителя А путем вычеркивания i строки и j столбца
Алгебраические
дополнения -
