Пределы
Область определения функции
Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
Область значения функции
Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).
Определение
2. Множество вещественных чисел {x}
называется ограниченным сверху
(снизу), если
Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу
Точной
верхней гранью или супре́мумом
Точной
нижней гранью или и́нфимумом 
Окрестность точки – любой интервал с центром в точке
Предел
последовательности – будем говорить,
что число a является пределом
последовательности Xn при
,1)
2)
Числовые последовательности
Числовой посл-тью назыв ф-ия,отображ множ-во N и множ-во R-действительных чисел. F(n)=Xn. Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти.
Последовательность
называется ограниченной, если
существуют такие числа L и U,
что
для всех
n = 1,2,3,…
________________________________________________
Свойства пределов последовательности
1)
Док-во.
2)
док-во 1, p = 0
3)
Док-во
от
противного
противоречие.
4)
(первое свойство о предельном переходе
в неравенство)
док-во:
,
от
противного
,
не
верно!
5)
(второе свойство о предельном переходе
в неравенство)
Док-во:
,
6)
(о единственности предела) последовательность
не может иметь сразу 2 предела. Док-во
от противного пусть
пусть
Дописать,
если есть время!!! Подставить и получить
противоречие!!!
7)
Док-во
:
Если
8)
пусть
Док-во:
для – доказывается Xn+(-1*Yn)
9)
) пусть
Док-во:
(модуль
суммы меньше или равен сумме модулей)
10)
) пусть
Док-во:
Дописать, если есть время!!!
Если числовая последовательность сходится, то она ограничена. Обратное утверждение неверно.(свойство 3!)
________________________________________________
Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.
Лемма
о пределе монотонной ограниченной
последовательности.
Любая
монотонная огранич посл-сть имеет
конечный предел.
;
>
<
;
;
1)
;
2)
;
;
;
;
;
;
;
.
________________________________________________
Нижним пределом последовательности называется точная нижняя грань по всем пределам подпоследовательностей последовательности .
.Верхним пределом последовательности называется точная верхняя грань по всем пределам подпоследовательностей последовательности .
Условие существования предела последовательности эквивалентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой последовательности.
Дописать, если есть время!!!
________________________________________________
Подпоследовательность
последовательности
– пусть дана последовательность
и
пусть у нас есть последоватеность
,
тогда подпоследовательностью
последовательности
Лемма
о пределе подпоследовательности. Пусть
;
;
;
;
;
;
;
;
________________________________________________
Лемма Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность
Рассмотрим
из 2х отрезков, на котором содержится
бесконечное число элементов. Обозначим
[a;b].
Xn1
– элемент, попавший на [a;b],
имеющий минимальный номер. Разделим
[a;b].
с бесконечным числом элементов [a2;b2].
разделим еще раз, получим [a3;b3],
________________________________________________
Принцип сходимости последовательности.
Пусть
дана последов Xn.
Она имеет
тогда
и только тогда,когда
.
Док-во:
Докажем необходимость:
Xn=A;
;
;
;
;
.
Докажем достаточность:,от противного. Верхний предел не = нижнему!
,
________________________________________________
Принцип сходимости ф-ий.
Предел
ф-ий в точке А сущ тогда и только
тогда,когда для любого
сущ
Док-во:
из определения по Гейне 1)
;
;
.
2)
________________________________________________
Предел
функции
-
Предел
функции по Гейне
-
,
Лемма о равносильности определения предела функции.
сравнить с:
:
Пусть
;
;
.
Пусть:
;
;
Док-во:
Пусть:
Тогда:
Для
;
;
по
2-му сво-ву о предельном пер нер-ве:
-
неверно!
________________________________________________