2.2. Температурный градиент

Если соединить точки тела, имеющие одинаковую температуру, можно получить поверхность равных температур, называемую изотер- мической. Итак, изотермической поверхностью называется геометриче- ское место точек в температурном поле, имеющих одинаковую темпе- ратуру.

Так как одна и та же точка тела не может одновременно иметь

различные температуры, то изотермические поверхности не пересека- ются. Они либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком рас- полагаются внутри самого тела.

Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм. Они обладают теми же свойствами,

что и изотермические поверхности, т. е. не пересекаются, не обрывают- ся внутри тела, оканчиваются на поверхности либо целиком располага- ются внутри самого тела.

На рис. 2.1 приведены изотермы, температуры которых отличают- ся на Δt.

Рис. 2.1. Изотермические поверхности

Температура в теле изменяется только в направлениях, пересе- кающих изотермические поверхности. При этом наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности.

Возрастание температуры в направлении нормали к изотермиче- ской поверхности характеризуется градиентом температуры. Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный

производной от температуры по этому направлению, т. е.

_{grad t  n} ^t _{, (2.5)}

^{0 n}

^{где n}₀ ^{– единичный вектор, нормальный к изотермической поверхности}

и направленный в сторону возрастания температур;

ная температуры по нормали n.

_{Скалярная величина температурного градиента}

t / n

_{t / n}

– производ-

_{не одинако-}

ва для различных точек изотермической поверхности. Она больше там, где расстояние Δn между изотермическими поверхностями меньше.

Величина тельна.

t / n

в направлении убывания температуры отрица-

Проекции вектора grad t на координате оси ох, оу, оz будут равны:

_{grad t }

_{ t cos  n, x   t ; }

x

n

^x _{ } ^

_

_{grad t }

_{ t cos  n, y   t ;}

_(2.6)

^y n

_

^y _

_{grad t }

_{ t cos  n, z   t . }

^z _n

_

^{z }

2.3. Тепловой поток. Закон Фурье

Необходимым условием распространения тепла в сплошной среде является неравномерность распределения температуры в рассматривае- мой среде. Таким образом, для передачи энергии теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента хотя бы в од- ной точке тела.

Согласно гипотезе Фурье количество тепла dQ [Дж], проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени dτ, пропорционально температурному градиенту t / n :

_{dQ  n } ^t _{dFd . (2.7)}

⁰ _n

Опытным, путем установлено, что коэффициент пропорциональ- ности в уравнении (2.7) есть физический параметр вещества. Он харак- теризует способность вещества проводить тепло и называется коэффи- циёнтом теплопроводности.

_{Количество тепла, проходящее в единицу времени через единицу}

_{площади изотермической поверхности}

_{q  dQ / dFd}

_[Вт/м²_{], называется}

плотностью теплового потока. Плотность теплового потока есть вектор, определяемый соотношением

_{q  n } ^t

_{. (2.8)}

⁰ _n

Вектор плотности теплового потока q направлен по нормали к изотермической поверхности. Его положительное направление совпада- ет с направлением убывания температуры, так как тепло всегда переда- ется от более горячих частей тела к холодным. Таким образом, векторы q и grad t лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Это и объясняет наличие знака минус в правых частях уравне- ний (2.7) и (2.8).

Скалярная величина вектора плотности теплового потока будет равна:

_{q  } ^t

^n

. (2.9)

Многочисленные опыты подтвердили справедливость гипотезы Фурье, поэтому уравнение (2.8) является математической записью ос- новного закона теплопроводности, который формулируется следующим образом: плотность теплового потока пропорциональна градиенту тем- пературы.

Количество тепла, проходящее в единицу времени через изотер- мическую поверхность F, называется тепловым потоком Q [Вт]. Если градиент температуры для различных точек изотермической поверхно- сти различный, то количество тепла, которое пройдет через всю изотер- мическую поверхность в единицу времени, определяется как

_t

_{Q   qdF    dF , (2.10)}

_{F F} ^n

где dF – элемент изотермической поверхности.