1.2. Расход жидкости

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости конечных размеров как совокупность бесконечно большого числа элементарных струек с поперечным сечением df, движущихся с различными скоростями, то расход потока V будет равен

^{V } _ ^{wi df , (1.4)}

f

где w_i – истинная скорость, т.е. скорость в данной точке, м/c.

Закон распределения скоростей по сечению потока зависит от ря-

да условий и часто представляет собой сложную функцию. Вследствие этого практически оказалось удобным ввести понятие средней скорости потока, под которой понимают отношение объема действительно про- пущенной жидкости к данному сечению, т. е.

_{ wi df}

_{w } ^V _ ^f

_{. (1.5)}

_чить

f f

Выражая расход жидкости через среднюю скорость, можно полу-

V  w f

. (1.6)

Соотношение между массовым и объемным расходом описывает- ся зависимостью

_{V  G  , (1.7)}

где G – массовый расход жидкости, кг/с;  – плотность жидкости, кг/м³.

1.3. Уравнение неразрывности потока

Применим закон сохранения массы к движущемуся потоку жид- кости. Для этого выделим в потоке жидкости ее бесконечно малый объ- ем, ограниченный параллелепипедом с гранями dx, dy, dz (см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. К выводу уравнения неразрывности потока

Рассмотрим, какая масса жидкости поступает в параллелепипед за бесконечно малый промежуток времени d, и какая масса жидкости вы- текает из него, если плотность жидкости равна . Для упрощения анали- за рассмотрим изменение массы, происходящее вдоль оси x.

Масса жидкости, втекающая в грань dydz, составит

dM₁   _x w_x dydzd . (1.8)

Масса жидкости, вытекающая через противоположную грань, за счет изменения плотности и скорости составит

_{dM   }

_{  x dx   w}

_{ wx dx  dydzd . (1.9)}

_{2  x x}

_{  x x }

   

После несложных преобразований получим, что разность между поступившим и вышедшим количеством жидкости составит

_{   x wx }

_{ dxdydzd . (1.10)}

^x

_{С учетом всех трех осей будем иметь}

^ _{  }

_{ }

x ^wx ^

_{   y wy }

_{ }

 _ 

z ^wz

_ ^

_{ dxdydzd . (1.11)}

^_ ^{x y z}

Этот избыток массы при неизменных размерах параллелепипеда возникает за счет изменения плотности элементарного объема во вре- мени, что может быть выражено следующим образом:

^ _{d dxdydz . (1.12)}

^

_{Приравнивая выражения (1.11) и (1.12), получаем:}

^ _

^  ^

x ^wx ^ _

 _ 

_{y wy }

_

^  ^

z ^wz ^

_{ 0 . (1.13)}

 x y z

Уравнение (1.13) и есть уравнение неразрывности потока или уравнение сплошности.

Для установившегося движения дифференциальное уравнение не- разрывности принимает вид

^  ^

x ^wx ^ _

 _ 

_{y wy }

_

^  ^

z ^wz ^

_{ 0 . (1.14)}

x y z

Интегрирование уравнения (1.14) для каждого данного сечения f₁,

^f₂^{, f}₃^{, …, f}_n ^{приводит к зависимости}

₁w₁ f₁  ₂ w₂ f₂  ₃w₃ f₃  ...  _n w_n f_n . (1.15)

_{Если жидкость несжимаема (капельная), то}

^x _ ^{ y}

^{x y}

_ ^{ z}

^z

 0 ,

а дифференциальное уравнение неразрывности потока для установив- шегося движения примет вид:

^wx _ ^wy

^{x y}

_ ^wz

^z

 0 . (1.16)

Интегрирование уравнения (1.16) для каждого данного сечения f₁,

^f₂^{, f}₃^{, …, f}_n ^{приводит к зависимости}

w₁ f₁  w₂ f₂  w₃ f₃  ...  w_n f_n . (1.17)

Таким образом, из уравнения (1.17) следует, что в несжимаемой жидкости во время движения объем, занимаемый любой частью жидко- сти, остается постоянным, т.е. он заполнен средой сплошь, без пустот и разрывов между отдельными ее частицами; поэтому уравнение называ- ется уравнением неразрывности потока или сплошности.