2.6. Теплопроводность при наличии внутренних источников тепла

В ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться теп- ло. Примерами таких процессов могут служить: объемное выделение тепла в тепловыделяющих элементах ядерных реакторов вследствие торможения осколков деления ядер горючего; выделение джоулева теп- ла при прохождении электрического тока по проводникам; выделение или поглощение тепла при протекании ряда химических реакций и т. д.

При исследовании переноса тепла в таких случаях важно знать интенсивность объемного выделения (поглощения) тепла, которая ко- личественно характеризуется плотностью объемного тепловыделения q_v [Вт/м³].

В зависимости от особенностей изменения величины в простран-

стве можно говорить о точечных, линейных, поверхностных и объем- ных источниках тепла.

_{Для стационарного режима}

_{t  = 0 дифференциальное уравне-}

_{ние теплопроводности (1.27) при наличии источников тепла имеет вид:}

_²_{t } ^qv



 0 . (2.59)

2 . 6 . 1 . Т е п л о п р о в о д н о с т ь о д н о р о д н о й п л а с т и н ы

Рассмотрим длинную пластину, толщина которой 2 – величина малая по сравнению с двумя другими размерами. Рассматриваемая за- дача соответствует случаю плоского тепловыделяющего элемента без оболочки.

Источники тепла равномерно распределены по всему объему и q_v = const. Заданы коэффициенты теплоотдачи  и температура жидко- сти вдали от пластины t_ж, причем  = const и t_ж = const. Благодаря рав- номерному охлаждению температуры обеих поверхностей пластины одинаковы. При указанных условиях температура пластины будет из- меняться только вдоль оси х, направленной нормально к поверхности тела.

Рис. 2.6. Теплопроводность плоской пластины при наличии внутренних источников тепла

Температуры на оси пластины и на ее поверхности обозначим со- ответственно через t₀ и t_c; эти температуры неизвестны (рис. 2.6). Кроме того, необходимо найти распределение температуры в пластине и коли- чество тепла, отданного в окружающую среду.

Дифференциальное уравнение (2.59) в рассматриваемом случае

упрощается и принимает вид:

_{Граничные условия:}

d ²t dx²

_ ^qv

^

 0 . (2.60)

_{ t }

_{при x  }

_{   }

_{  tc  tж  .}

 ^x _x

Поскольку граничные условия для обеих сторон пластины одина- ковы, температурное поле внутри пластины должно быть симметрич- ным относительно плоскости х = 0. Тепло с одинаковой интенсивностью отводится через левую и правую поверхности тела. Одинаково и тепло- выделение в обеих половинах пластины. Это означает, что можно далее рассматривать лишь одну половину пластины, например правую (см. рис. 2.6), и записать граничные условия для нее в виде

_{x  0;}

_{ t }

_

_{ 0; }

_{   }

^{ x }_x0

^ _(2.61)

_{ t  }

_{x   ;}

_{   }

^{ x }_x

^{ } _^t_c ^{ t}_{ж }^.

_



_{После интегрирования (2.60) получим:}

^dt _{ } ^q_v ^x _{ C}

_{; (2.62)}

_{dx } ¹

_{t  } ^qv

2

1 2

x²  C x  C

. (2.63)

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из граничных условий (2.61)

_{q  q } ²

_{v v}

^С₁ ^{= 0,}

^{C2  tж } _ ^ _2 ^.

Подставив значения постоянных С₁ и С₂ в выражение (2.63), най- дем уравнение температурного поля:

t ( x)  t_ж

_ ^qv



_ ^qv

2

_ ²  x² _ ,

  x   . (2.64)

В рассматриваемой задаче тепловой поток изменяется вдоль оси х:

q  q_v x .

При х = 0 тепловой поток равен нулю (q = 0). Тепловой поток с единицы поверхности пластины при х = 

^{q  } ^t_c ^{ t}_ж  ^{ q}_v^

(2.65)

и общее количество тепла, отданное всей поверхностью в единицу времени (вся поверхность F равна двум боковым поверхностям F₁),

Q  qF  q_v 2F₁ . (2.66)

Из уравнения (2.64) следует, что температура в плоской стенке при наличии симметрии распределяется по параболическому закону.

Если в уравнении (2.64) положить  = ∞, то полученное выраже- ние будет представлять температурное поле для граничных условий

^{первого рода, т. к. при  = ∞ t}_ж ^{≡ t}_c^.

_{С учетом сказанного уравнение (2.64) принимает вид:}

t ( x)  t_c

_ ^qv

2

_ ²  x² _ ,

  x   . (2.67)

При этом температура на плоскости симметрии пластины (х = 0)

v

_{q } ²

_{t0  tc  ,}

^2

а перепад температур между плоскостью симметрии стенки и ее по- верхностью равен:

_{t  t}

_ ^q_{v  2 } ^q

_{. (2.68)}

^{0 c} _{2 2}

До сих пор мы полагали, что коэффициент теплопроводности ма- териала стенки постоянен. При больших перепадах температур может возникнуть необходимость в учете зависимости коэффициента тепло- проводности от температуры. Часто эта зависимость имеет линейный характер, т. е.

Тогда

^{  }₀ ^{1  bt}  ^.

_{q x   1  bt } ^dt _.

^{v 0} dx

ем:

Разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получа-

2

_{t  b} ^t

²

_{ } ¹

^₀

q x²

v

2

 C .

Положим, что при х = 0 t = t₀, тогда из последнего уравнения сле- дует, что

_{C  t}

_ ^b _{t 2 .}

⁰ ₂ ⁰

Подставляя найденное значение С в выражение для распределе- ния температуры и решая квадратное уравнение относительно t, полу- чаем следующее уравнение температурной кривой:

2

_{1  1 }

_{q x}²

_{t ( x)   }

^b

_ ^{t } _

⁰ _b

^{ }

_ ^v _,

^₀^b

  x   . (2.69)

2 . 6 . 2 . Т е п л о п р о в о д н о с т ь о д н о р о д н о г о ц и л и н д р и ч е с к о г о с т е р ж н я

Рассмотрим круглый цилиндр (рис. 2.7), радиус которого мал по сравнению с длиной. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса. Рассматриваемая задача соответствует случаю цилиндрического тепловыделяющего элемента без оболочки (длинный топливный стержень или столб цилиндрических топливных таблеток).

Рис. 2.7. Теплопроводность однородного цилиндрического стержня при наличии внутренних источников тепла

Внутренние источники тепла равномерно распределены по объе- му тела. Заданы температура окружающей среды t_ж = const и постоян- ный по всей поверхности коэффициент теплоотдачи.

При этих условиях температура во всех точках внешней поверх- ности цилиндра будет одинакова.

Для цилиндра, как и для пластины, задача будет одномерной и

_{симметричной. Уравнение (2.59) при этом имеет вид:}

_d ²_t

_{1 dt q}

_{ } ^v

_{ 0 . (2.70)}

_{Граничные условия:}

dr ²

r dr 

_{r  0;}

_{ dt }

_{ 0; }

_{  }

_{ }

r  r₀ ;

^{ dr }_{r 0}

_{ dt }

_{ }

0

^{ dr }_{r r}

_

^

_

^{ } ^t_c ^{ t}_ж ^.



(2.71)

Необходимо найти уравнение температурного поля и тепловой поток, а также значения температур на оси t₀ и на поверхности t_c.

Проинтегрировав уравнение (2.70) и найдя константы С₁ и С₂ по- лучим уравнение распределения температуры в стержне:

_{qv r0}

_{qv }

_{2 2 }

^{t (r )  tж } _2 ^ _4

^r₀ ^{ r}

^{, 0  r  r}₀ ^{. (2.72)}

Полученное уравнение дает возможность вычислить температуру в любой точке внутри цилиндрического стержня и на его поверхности. Оно показывает, что распределение температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закону.

Из уравнения (2.72) при r = 0 определяется температура на оси цилиндра:

_{q r q r} ²

^t₀ ^{ t}_ж ^

^{v 0} _

2

^{v 0} _{. (2.73)}

4

_{Удельный тепловой поток с единицы поверхности стержня}

^{q  } ^t

_c  t_ж

_{ } ^{qv r0} _{. (2.74)}

²

_{Полный тепловой поток с поверхности цилиндра:}

2

Q  qF  q_v r₀ l . (2.75)

Из уравнения (2.74) следует, что плотность теплового потока за- висит только от производительности внутренних источников и от вели- чины внешней поверхности r₀, через которую проходит тепловой поток.

Пусть теперь заданы граничные условия первого рода, т. е. темпе- ратура поверхности цилиндра t_c. Эти условия соответствуют частному случаю предыдущей задачи, если полагать, что коэффициент теплоот- дачи имеет бесконечное значение:  = ∞. При этом, очевидно t_ж ≡ t_c. То- гда уравнение (2.72) примет вид:

_{q r} 2 _

2

_{ r  }

^{t (r )  t}_c ^

^{v 0} _{1 }

^{4 }_

_{ }  ,

^{ r0  }_

^{0  r  r}₀ ^{. (2.76)}

Температура на оси цилиндра (r = 0)

_{q r} ²

^t₀ ^{ t}_c ^

^{v 0} _{. (2.77)}

4

_{Если необходимо учитывать зависимость коэффициента тепло-}

проводности от температуры, заданную в виде

^{ t   }₀ ^{1  bt  то, ис-}

пользуют следующую зависимость для описания температурной кри- вой:

2

_{1  1 }

_{q r} ²

_{t (r )   }

^b

_ ^{t } _

⁰ _b

^{ }

_{ ,}

v

^2₀^b

^{0  r  r}₀ ^{. (2.78)}

2 . 6 . 3 . Т е п л о п р о в о д н о с т ь ц и л и н д р и ч е с к о й с т е н к и

Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним радиусом r₁, наружным r₂ и постоянным коэффициентом теплопроводности . Внутри этой стенки имеются равномерно распре- деленные источники тепла производительностью q_v. Рассматриваемая задача соответствует случаю трубчатого тепловыделяющего элемента без оболочки.

В такой стенке температура будет изменяться только в направле- нии радиуса, и процесс теплопроводности будет описываться уравнени- ем (2.70). Интеграл этого уравнения представлен выражением

2

_{qv r}

_{t  }

^4

^{ C}₁ ^{ln r  C}₂ ^{. (2.79)}

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ в последнем уравнении опре- деляются из граничных условий. Рассмотрим случаи, когда теплоот- дающей поверхностью являются только внутренняя или только наруж- ная поверхность, и обе поверхности одновременно.

а ) Т е п л о о т в о д и т с я т о л ь к о ч е р е з н а р уж н у ю п о в е р х н о с т ь т р уб ы . Будем рассматривать случай, когда заданы граничные условия третьего рода, т. е. температура окружающей среды со стороны наруж- ной поверхности и постоянный коэффициент теплоотдачи на внешней поверхности трубы (рис. 2.8). При этом граничные условия запишутся:

r  r₁;

q  0 или

_{ dt }

^{ }_{r r}

^ _dr ^

¹

_

 0; ^

_

_

_{ }

r  r₂ ;

_ dt _

_{ }

^{ dr }

r r₂

^{ }₂ ^t_{c 2}

_{ t .}^

_

^{ж 2} _

^

Рис. 2.8. Отвод тепла через наружную поверхность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников тепла

Из уравнения (2.79) при r = r₁ получим:

₂

_{C } ^q_v ^r_{1 .}

¹ 2

При r = r₂ из уравнения (2.79) с учетом найденного выражения для

^С₁ ^{получим:}

_{q r q r} ²

Тогда:

^t_{c 2}

^{ t}_{ж 2} ^

^{v 2} _

^2

^{v 1} _.

^{2 r}₂

_{q r q r} ²

_{q r} ²

_{q r} ²

_{C  t}

_ ^{v 2} _

^{v 2} _

^{v 1} _

^{v 1} _{ln r .}

_{2 ж 2 2}

2 4

^{2 r}₂ ^2

Подставляя найденные значения С₁ и С₂ в уравнение (2.79), полу- чаем выражение для температурного поля:

_{q r }

2

_{ r  }

_{q r} 2 _

₂

_{ r }

2

_{r  r  }

_{t (r )  t}

_ ^{v 2} _{1  }

¹ _{  }

^{v 2} _{1  } ¹ _

_{2 ln}

_{  }

_{ , r}

_{ r  r . (2.80)}

_{ж 2 2 r}

_{4 r r r 1 2}

_{ 2 }

_{ 2 }

_{2  2 }

^{Для внешней теплоотдающей поверхности (при r = r}₂⁾

_{t  t}

_{q r} ^ _{ r }

_{ v 2 1  1}

² _

_{ . (2.81)}

_{c 2 ж 2 2}

_{ r }

_{ 2 }

Удельный тепловой поток с единицы теплоотдающей поверхно- сти найдется как

2

_{   }

_{q  2}

_{tc 2}

_{ tж 2}

_{ } ^{qv r2} _{1  } ^r1 _

2 r

_{ . (2.82)}

^{ 2 }

Температура на внутренней поверхности стенки определяется из уравнения (2.80) при подстановке в него значений r = r₁

_{q r }

2

_{ r  }

_{q r} 2 _

₂

_{ r }

2

_{r  r  }

_{t  t}

_ ^{v 2} _{1  }

¹ _{  }

^{v 2} _{1  } ¹ _

_{2 ln}

¹ _{ }

¹ _{  . (2.83)}

_{c1 ж 2 2 r}

_{4 r r r}

_{ 2 }

_{ 2 }

_{2  2 }

При заданных граничных условиях первого рода, т. е. при темпе- ратуре теплоотдающей поверхности t_с2, эти условия можно трактовать как частный случай рассмотренной задачи, когда коэффициент теплоот- дачи на поверхности очень велик ( = ∞). Тогда температура жидкости будет равна температуре поверхности трубы. С учетом сказанного уравнение (2.80) принимает вид:

_{q r} 2 _

₂

_{ r }

2

_{r  r  }

_{t (r )  t}

_ ^{v 2}

_{1  } ¹ _

_{2 ln}

_{    ,}

_{r  r  r . (2.84)}

_{c 2 4}

_{r r r 1 2}

_{ 2 }

_{2  2 }

Полагая в этом уравнении r = r₁ и t = t_c1, находим перепад темпе- ратуры на стенках:

_{q r} 2 _{ r }² _{r }

t_c1

 t_{c 2} 

^{v 1} _ ² _

_{4 r}

 2 ln

² _{ 1 . (2.85)}

_r

 1  1

б ) Т е п л о о т в о д и т с я т о л ь к о ч е р е з в н ут р е н н ю ю п о в е р х - н о с т ь т р уб ы (рис. 2.9). При заданных коэффициенте теплоотдачи  на внутренней поверхности и температуре среды t_ж граничные условия за- пишутся:

r  r₁;

_{ dt }

_{ }

1

^{ dr }_{r r}

_ ^1 _t

^{ c1}

^{ t}ж1

_

_; ^

_

_

_{ dt  }

^{r  r}₂ ^;

^{q  0 или} _{ }

dr

^{ }

r r₂

_{ 0.}

_

^

Рис. 2.9. Отвод тепла через внутреннюю поверхность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников тепла

Аналогично предыдущему случаю из этих условий определяются постоянные С₁ и С₂ в уравнении (2.79).

После определения постоянных и подстановки их в уравнении

_{(2.79) получим:}

_{q r  r }²

_{ q r} 2 _

₂

_{r  r }

2

_{ r  }

_{t (r )  t}

_ ^{v 1} _ ² _

_{ 1 }

^{v 2} _{2 ln}

_{ } ¹ _

_{    ,}

_{r  r  r . (2.86)}

_{ж1 2 r}

_{4 r r r 1 2}

_{ 1 }

_{1  2   2 }

Значение перепада температур между средой и теплоотдающей поверхностью можно получить, если в уравнение (2.86) вместо значения текущей координаты можно подставить r₁. Тогда

_{t  t }

_

2

_{qv r1} ^_{ r2 }

_

_{ 1 . (2.87)}

_{c1 ж1}

_{2  r }

 1 

Для случая, когда задана температура теплоотдающей поверхно- сти t_c1, что соответствует случаю  = ∞, уравнение (2.86) принимает вид:

_{q r} 2 _

₂

_{r  r }

2

_{ r  }

_{t (r )  t}

_ ^{v 2}

_{2 ln}

_{ } ¹ _

_{    ,}

_{r  r  r . (2.88)}

_{c1 4}

_{r r r 1 2}

_{1  2   2 }

Полагая в этом уравнении r = r₂ и соответственно t = t_с2, получаем полный температурный напор в стенке:

_{q r} 2 _

2

_{r  r  }

t_{c 2}

 t_c1 

^{v 2} _{2 ln}

_4

²  _ ¹ _

_{r r}

 1 . (2.89)

_{1  2 }

в ) Т е п л о о т в о д и т с я ч е р е з в н у т р е н н ю ю и н а р уж н у ю п о - в е р х н о с т и . В случае, когда тепло отводится в окружающую среду как с внутренней, так и с внешней поверхности, должен существовать мак- симум температуры внутри стенки. Изотермическая поверхность, соот- ветствующая максимальной температурой, разделяет цилиндрическую стенку на два слоя. Во внутреннем слое тепло передается внутрь трубы, во внешнем – наружу. Максимальное значение температуры соответст- вует условию dt/dr = 0 и, следовательно, q = 0.

Таким образом, для решения данной задачи можно использовать. уже полученные выше соотношения. Для этого нужно знать радиус r₀ (рис. 2.10), соответствующий максимальной температуре t₀.

Рис. 2.10. Теплота внутренних источников отводится через обе поверхности цилиндрической стенки

Согласно уравнениям (2.85) и (2.89) максимальные перепады тем- ператур во внешнем и внутреннем слоях определяются уравнениями:

_{q r} 2 _{ r }² _{r }

_{t  t}

_ ^{v 0} _ ² _

_{ 2 ln}

² _{ 1 ; (2.90)}

_{0 c 2 4 r r}

_ 0 _ 0

_{q r} 2 _{ r }² _{r }

_{t  t}

_ ^{v 0} _ ¹ _

_{ 2 ln}

⁰ _{ 1 . (2.91)}

_{0 c1 4 r r}

_ 0 _ 1

Вычитая соответственно левые и правые части двух последних уравнений получаем:

_{q r} 2 _{ r }²

₂

_{ r }

_{r r }

_{t  t}

_ ^{v 0} _ ² _

_{ } ¹ _

_{ 2 ln}

⁰ _{ 2 ln}

⁰ _{ . (2.92)}

_{c1 c 2 4}

_{r r r r}

_ 0 _{ } 0 _ 2 1

_чим:

Это уравнение необходимо решить относительно r_0. Решив, полу-

_r ² _

^4 ^t_c1

^{ t}_{c 2} ^ _

2 1

r ²  r ²

⁰ _{r r}

v

_{2q ln} ²

_{2 ln} ²

_или

r₁ r₁

0

v

r ² 

q _r ²  r ² _  4 _t r

^{ t}_{c 2} 

c1

. (2.93)

2

^2q_v ^ln

r

1

Подставляя вычисленное из уравнения (2.93) значение r₀ в выра- жение (2.90) или (2.91), можно вычислить максимальное значение тем- пературы в рассматриваемой стенке.

Для нахождения распределения температуры во внутреннем слое в уравнение (2.88) подставляются значения текущей координаты r₁ < r < r₀, а для нахождения распределения температуры во внешнем слое в уравнение (2.84) подставляются значения r₀ < r < r₂.

Если температуры внешних поверхностей цилиндрической стенки равны, то уравнение (2.93) упрощается. В этом случае

_{2 2}

2 1

0

_r ² _ ^r2

^{ r}₁

_r

, (2.94)

_{2 ln} ²

^r₁

т. е. r₀ зависит только от размеров цилиндрической стенки и не зависит от тепловых условий.

Если температуры поверхностей цилиндрической стенки t_c1 и t_с2 неизвестны, но известны температуры жидкостей t_ж1 и t_ж2 внутри и вне трубы, а также коэффициенты теплоотдачи ₁ и ₂, то для определения r₀ к уравнению (2.93) необходимо добавить уравнения:

_где

^q_l1 ^{ 2 r}₁^₁ ^t_c1 ^{ t}_ж1 ^{; }_

_

^q_{l 2} ^{ 2 r}₂^ ₂ ^t_{c 2} ^{ t}_{ж 2} ^,_

(2.95)

_{ql1  qv}

_{r0  r1 ,}

_{ql 2  qv r2}

_{ r0  .}

2 2

Для определения r₀ необходимо будет решать уравнения (2.95) со- вместно с уравнением (2.93).