1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

Оскільки UC0 − постійна величина, її похідна за часом дорівнює нулю. Тому

перетворення системи (6.22), подібні перетворенням системи (6.17), призводять до рівняння (6.21).

Приклад 6.2. Скласти диференціальне та характеристичне рівняння для кола (рис.6.1), вважаючи відгуком напругу на індуктивності.

Розв’язання. Використовуючи формулу для КПФ

за знаменником виразу (6.23) запишемо ліву, а за чисельником (6.23) – праву частину диференціального рівняння кола відносно напруги uL (t) :

Поділивши останнє рівняння на R1R2 , отримуємо вираз (6.3).

Щоб здобути характеристичне рівняння, замінимо у лівій частині диференціального рівняння (6.3) оператор диференціювання на оператор p :

Знайдемо характеристичне рівняння в іншій спосіб – прирівнявши до нуля вхідний опір кола Z вх(ω) відносно затискачів джерела:

Після заміни jω на p , отримуємо вираз (6.24).

Приклад 6.3. Знайти струм i2 (t) електричного кола (рис.6.3, а).

та зведемо її до одного рівняння відносно струму i2 (t) :

Складемо характеристичне рівняння та знайдемо його корінь:

Розв’язок рівняння (6.26) згідно з класичним методом має вигляд:

де вимушена складова струму i2вм(t) може бути записана конкретно, якщо

буде заданий закон змінювання вхідної дії. Визначення вимушеної складової відгуку в режимі постійної та синусоїдної дії розглянуто в прикладі 6.4 та підрозд. 6.2, 6.4.

Знайдемо сталу інтегрування з рівняння (6.27), підставивши t = +0 :

Початкове значення струму i2 (+0) визначимо з третього рівняння системи

(6.25) при t = +0 : uC (+0) − R2i2 (+0) = 0 .

Оскільки початкові умови нульові, то uC (−0) = 0 . За другим законом комутації

L = 2 мГн (рис.6.3, б) увімкнено до джерела постійної ЕРС. Визначити струм i3 (t) .

Розв’язання.

1. Коло має ненульові початкові умови. За законами Кірхгофа складемо систему рівнянь для миттєвих значень напруг та струмів для моменту часу t = +0 :

з якого визначаємо характеристичне рівняння:

L(R1 + R3 ) p + (R1R3 + R2 R1 + R3R2 ) = 0 .

Корінь характеристичного рівняння становить:

Примітка. Зазначимо, що іноді задачу аналізу перехідного процесу у колі першого порядку розв’язують, виключаючи етап складання диференціального рівняння. При цьому корінь характеристичного рівняння знаходять за допомогою

а) для моменту t = +0 , підставивши перше рівняння системи (6.29) до другого, матимемо:

Струм i2 (+0) визначаємо з першого закона комутації як струм в індуктивності:

i2 (+0) = i2 (−0) = R1 +E R2 =1012+3 = 0,923 А,

+ =12 −10 0,923 =

тоді i3 ( 0) 0,139 А; 10 +10

б) складемо схему кола для моменту t = +0 (рис.6.4, б), враховуючи, що за ненульових початкових умов індуктивність еквівалентна джерелу струму i2 (+0) . Оскільки в цій схемі є два джерела, скористуємось методом накладання:

i3 (+0) = i3а(+0) −i3б(+0) = R1 +E R3 −i2 (+0) R1 R+1R3 = 0,6 −0,462 = 0,139А.

Отже, з формули (6.33) A1 = 0,139 −0,225 = −0,086 А, а кінцевий вираз для струму матиме вигляд: i3 (t) = −0,086e−4000t +0,225 А.

Приклад 6.5. До електричного кола, яке утворюють послідовно з’єднані елементи L = 40 мГн, R та C (рис.6.5, а), прикладено постійну напругу U =120 В. Конденсатор замкнено. Розімкненням контакту конденсатор вводиться у коло. Знайти напругу на обкладинках конденсатора та струм у двох випадках: 1) R =100 Ом, C = 25 мкФ; 2) R =80 Ом, C = 5 мкФ. Накреслити криву uC (t) .

Розв’язання. Розв’яжемо задачу, виключаючи етап складання диференціального рівняння. Напругу на конденсаторі знайдемо у вигляді суми вимушеного та вільного значень: uC (t) = uCвл(t) +uCвм(t) .

Вимушена складова напруги в усталеному режимі uCвм(t) =120 В, оскільки

після розмикання ключа по закінченні перехідного процесу конденсатор буде заряджений до рівня прикладеної до кола постійної напруги.

дійсних коренів характеристичного рівняння вільна складова має вигляд (6.9): uCвл(t) = A1e p1t + A2e p2t ,

де A1 , A2 – сталі інтегрування.

Підсумовуючи вільну та вимушену складові, матимемо: uC (t) = A1e p1t + A2e p2t +uCвм(t) .

Щоб розрахувати A1 , A2 , скористаємось формулами (6.15), (6.16):

Згідно з законом комутації за нульових початкових умов uC (−0) = uC (+0) = 0 . Щоб знайти значення похідної uC′ (+0) , запишемо диференціальне співвідношення

між напругою і струмом в ємності:

duC (+0) = iC (+0) . dt C

Оскільки в момент t = +0 за нульових початкових умов ємність еквівалентна короткому замиканню, а індуктивність була замкнена в усталеному режимі до комутації, струм iC (+0) =U / R .

2. За формулою (6.35) p1,2 = −δ± jωвл = −1000 ± j2000 с-1. Для комплексноспряжених коренів характеристичного рівняння вільна складова має вигляд (6.10):

uCвл(t) = Ae−δt sin(ωвлt +ψ) ,

де A , ψ – сталі інтегрування.

Підсумовуючи вільну та вимушену складові, матимемо:

Виразимо з першого рівняння A = −120 / sinψ та підставимо до другого:

3 105 =120δ−120ωвлctgψ, звідки ψ = arcctg(−3 / 4) = −530 ; A =150 В.

Запишемо кінцевий вираз напруги на конденсаторі:

uC (t) =120 +150e−1000t sin(2000t −530 ) В (рис.6.5, б, крива 2).

Зазначимо, що вільну складову можна знайти, використовуючи функцію косинус: uCвл(t) = A1e−δt cos(ωвлt +ψ1) .

Розраховуючи аналогічно сталі інтегрування A1 , ψ1, отримаємо: uC (t) =120 −150e−1000t cos(2000t +370 ) В.

Диференціюючи uC (t) і помножуючи на С, визначаємо струм;

iC (t) = 0,75 10−3 e−1000t [1000 cos(2000t +370 ) + 2000sin(2000t +370 )] =

=0,75e−1000t 5 sin(2000t +370 +arctg0,5) =1,68e−1000t sin(2000t +640 ) А.

6.2Перехідні процеси в колах R, C та R, L

6.2.1Вiльний режим у колi R, C

Нехай коло R, C (рис.6.6, а) має ненульові початкові умови: uC (−0) = E .

задовольняють другому закону Кiрхгофа, згiдно з яким

комутацiї за ненульових початкових умов uC (+0) = uC (−0) = E . Тобто A1 = E , i (t) = Ee−t /τ .

Струм у колi та напругу на опорi можна знайти за законом Ома:

iвл(t) =C duCвл(t) = − E e−t /τ ; uRвл(t) = Riвл(t) = −Ee−t /τ , де τ = RC . dt R

Вiдповiднi графiки зображено на рис.6.7, а. З рисунку видно, що згiдно з другим законом Кiрхгофа в будь-який момент часу алгебраїчна сума напруг у колi дорiвнює нулю.

З’ясувати змiст сталої часу можна, поклавши t = τ. Тоді

uC (τ) = −uR (τ) = E / e ; i(τ) = −E /(R e) . Отже, стала часу τ дорівнює часовому інтервалу, за який напруга або струм в колi R, C зменшуються за абсолютною величиною у вільному режимi в e = 2,718 рази (37% від початкового значення).

Інакше, стала часу електричного кола – величина, що характеризує електричне коло з одним iнерцiйним елементом (iндуктивнiстю чи ємнiстю) i дорiвнює довжинi пiддотичної до кривої вiльної складової перехiдного струму

режиму спокою, коли вся енергiя CE 2 / 2 , накопичена у ємностi, буде видiлена в опорi R у виглядi теплової енергiї.

Таблиця 6.1 – Числові значення функції uCвл(t)

В інженерній діяльності користуються різними критеріями практичної тривалості перехідного процесу tпер. Наприклад, в техніці сильних струмів

приймают tпер = (5...6)τ, у слабкострумових колах вiльнi процеси вважають закiнченими, коли uC (t) < 0,01E , тобто тривалiсть перехiдного процесу

становить tпер = 4,6τ.

Рисунок 6.7 – Графіки часових залежностей струму і напруг кола R, C

увільному режимі

6.2.2Увiмкнення джерела постiйної напруги до кола R, C

У колі R, C, яке зображено на рис.6.6, а, увiмкненню джерела E вiдповiдає зміна положення перемикача S: 2→1. При цьому існують нульовi початковi умови: uC (−0) = 0 . Згiдно з другим законом Кiрхгофа:

Загальний розв’язок рівняння (6.39) збiгається з (6.38). Оскiльки при t→∞ конденсатор заряджається до рiвня E, то вимушена складова uC вм = E . Тодi

Сталу інтегрування A1 знаходять із системи рiвнянь:

uC (+0) = A1 + E ;uC (−0) = 0 .

Згiдно з законом комутацiї uC (−0) =uC (+0) . Тодi A1 + E = 0 , A1 = −E . Отже, за нульових початкових умов можна записати:

uC (t) = −Ee−t /τ + E = E(1−e−t /τ ) ; iC (t) =C duC (t) = E e−t /τ ; uR (t) = Ri(t) = Ee−t /τ . dt R

Графіки отриманих залежностей зображені на рис.6.8, а. Слід звернути увагу на те, що в момент комутації струм кола, а отже, і напруга uR (t)

зростають стрибкоподібно.

6.2.3 Вiльний режим у колi R, L

Вiльний режим у колi R, L виникає за рахунок енергії, накопиченої в магнітному полі індуктивності. Схема (рис.6.6, б) має ненульові початкові умови: iL (−0) = I0 . Тому при замиканні перемикача у вітці R, L виникає вільний

процес.

Згiдно з другим законом Кiрхгофа:

p1 = −R / L = −1/ τ ( τ = L / R ), який є дiйсним вiд'ємним числом. Тому загальний

Значення сталої A1 отримують з початкових умов i рiвняння (6.42): i(+0) = A1 , i(−0) = I0 , отже A1 = I0 . Тоді

iвл(t) = I0e−t /τ ; uRвл(t) = Riвл(t) = RI0 e−t /τ ; uLвл(t) = L diвл(t) dt

Стала часу τ має той самий змiст, що й у колi RC . Тривалiсть вiльного процесу tпер тим бiльше, чим бiльше iндуктивнiсть L i менше опiр R (рис.6.8, б).

6.2.4 Увiмкнення джерела постiйної напруги до кола R, L

Схема аналiзованого кола зображена на рис.6.9, а. Початковi умови нульовi: iL (−0) = 0 . Згiдно з другим законом Кiрхгофа пiсля переведення

перемикача до положення ”2” алгебраїчна сума напруг на елементах кола дорiвнюватиме E:

Рисунок 6.9 – Увімкнення джерела постійної напруги до кола R, L: а – схема; б – графіки струму і напруг

За класичним методом розв’язок (6.43) має вигляд: i(t) = iвл(t) +iвм(t) . Характеристичне рiвняння Lp + R = 0 має корінь p1 = −R / L = −1/ τ. Тому

вiльна складова збiгається з виразом (6.42). Оскiльки при t→∞ струм у колi становить i(t) = E / R (для постiйного струму iндуктивнiсть еквiвалентна

короткому замиканню), то вимушена складова iLвм(t) = E / R .