5. Перевод чисел из одной системы счисления в другую методом «взвешивания». Математическое описание алгоритма.

Метод взвешивания позволяет переводить целые и дробные числа единым способом и заключается в последовательном делении числа , представленного в СС с основанием S, на веса .

Разделим обе части уравнения на :

Целая часть частного представляет собой старшую цифру перевода:

Остаток деления имеет вид:

Для определения следующей цифры необходимо разделить на и определить остаток от деления и целую часть:

Таким образом могут быть определены все цифры перевода, при этом разрядность дробной части обусловливается точностью перевода.

6. Перевод чисел в системах счисления с основаниями кратными степени двойки.

Для перевода чисел из двоичной СС в систему счисления с основанием необходимо цифры исходного числа разбить на группы из n цифр влево и вправо от запятой, дополняя по необходимости крайнюю правую (в целой части) и крайнюю левую (в дробной части) группы незначащими нулями. Затем каждую группу заменяем соответствующей цифрой системы, в которую переводим.

Таким образов, при переводе из двоичной СС в восьмеричную, двоичное число разбивается на группы по три цифры – триады, в шестнадцатеричную СС, число разбивается на тетрады – группы по 4 цифры.

7. Разновидности двоичных систем счисления. Системы счисления с отрицательным основанием.

Двоичные СС – это системы счисления, в которой для изображения чисел используется два символа, веса разрядов которых меняются по закону

Недостатки: некоторые числа невозможно представить в виде конечного множества. Существуют числа, представление которых единственное.

Избыточные СС с основанием q – это системы, где для записи чисел используется количество символов, больше чем q.

Избыточные СС связаны с обычными СС следующим равенством.

Избыточные СС, характеризуемые симметричностью символов, используются для упрощения арифметических операций.

При переходе к избыточной системе счисления, количество нулей в числе можно увеличить, что приводит к ускорению арифметических операций.

СС с отрицательным основанием.

Если , то в этой СС можно представить любое десятеричное число, используя символы 0, -1, -2, …, -q

Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из нега-позиционных систем, отличное от 0, с нечётным числом цифр — положительно, а с чётным числом цифр — отрицательно.

8. Представление двоичных чисел в формате с фиксированной запятой: назначение разрядов числа, диапазон, погрешность представления. Математическое описание формата.

В формате с фиксированной запятой старший разряд разрядной сетки, отводимой под число, используется для хранения знака числа, остальные – для хранения цифр числа. Запятая фиксируется в строго определенном месте разрядной сетки, и её положение остаётся неизменными при выполнении операций над числами. Запятая в разрядной сетке не хранится, её положение подразумевается.

Знаковый разряд – это разряд сетки, в котором размещается знак числа. Цифровой разряд – это разряд сетки, где размещаются цифры числа.

Запятая может быть зафиксирована после любого разряда разрядной сетки. Однако, как правило, запятая фиксируется либо после знакового разряда (перед старшим), либо после младшего цифрового разряда. Формат с запятой, зафиксированной перед старшим цифровым разрядом, используется для представления правильных двоичных дробей с нулевой целой частью со знаком (либо без знака). Нулевая целая часть в разрядной сетке не хранится, а лишь подразумевается.

Формат с фиксированной запятой после младшего цифрового разряда используется для хранения целых чисел.

Диапазон представления

В n-разрядной сетке могут быть представлены целые двоичные числа в диапазоне , т.е. в десятичной СС: .

Диапазон представления целых чисел в формате с фиксированной запятой зависит от длины разрядной сетки.

Абсолютная погрешность представления в формате с запятой, фиксированной после младшего цифрового разряда, при симметричном округлении результата операции, равна половине веса младшего цифрового разряда и постоянна на всем диапазоне представления. Абсолютная погрешность не зависит от длины разрядной сетки n.

Если при выполнении вычислений значения чисел выйдут за пределы разрядной сетки слева, т.е. за пределы допустимого диапазона, то возникает грубая ошибка. Чтобы избежать этого исходные числа необходимо масштабировать.

Одно из самых важных свойств представления чисел в формате с фиксированной запятой – это возможность построения сравнительно несложных операционных устройств с высоким быстродействием.