Глава 2. Логика предикат

Пусть задано множество D,конечное или бесконечное.

Определение: Терм (t):

1. есть предметная константа из D (пример: aD)

2. переменная х, принимающая значение из D

3. функция f(t₁, . . . , t_n), где t_i – терма.

Пример:

D – множество целых чисел, к примеру а~3 – терм, а для х f(3),f(f(5), f(x,y)

Терм – переменная или функция и т.д.

Определение: утверждение P(t₁, . . . , t_n), зависящее от термов t₁, . . . , t_n, истинности которого зависит от значения термов называется предикатом.

Предиката – утверждение (высказывание)

Пример: Р(5) = (5 – положительное целое) – простое высказывание, оно «И», «true». (где Р – символ предикат)

R(Петров) = (Петров - студент) ~ оно «И» или «Л». (где R – предикатный символ, (Петров) - предиката)

Р(х) = (х≠5)~«И» или «Л» - в зависимости от значения х.

- с переменной или константой

Р(3) = (3≠5)~«true» - истинное простое высказывание

Р(f(х),у,4) = (e^x+y4) (где е^х – функция, у – переменная, 4 - const)

Представляя числа из области интерпретации, например N – множество натуральных чисел.

N(e³+24) = P(f(3)2,4) = F  false – ложное утверждение

Если предикат зависит от переменных, то он является истинной функцией P(x₁, . . . ,x_n), которая принимает значение «И» или «Л», когда аргументы принимают некоторые значения из области D.

х₁,х₂, . . . , х_nD (но не обязательно) область значений D называют предметной областью, областью определения и областью интерпретации.

Предикат приобретает смысл, если для него выбрана интерпретация, т.е.

1) выбрана область интерпретации для переменных х₁, х₂, . . . , х_nD

2) выбрано свойство или отношение вместо предикатного символа:

Р(х₁,,х₂)=(х₁х₂)

В каждой интерпретации для конкретного набора значений переменных будет получено простое высказывание, истинное или ложное по смыслу

Истинное - если удовлетворяет свойству и ложное – если нет.

Если одна переменная в предикате:

Р(х) – 1 – местный предикат

Р(х,у) – 2 – местный предикат

. . . . . .

Р(x₁, . . . , x_n) – n – местный предикат

Если все переменные заменены предикатными константами, то тогда предикат становится высказыванием, что называют 0 – местным предикатом

Т.о. логика предикат – это обобщение логики высказывании.

2.1 Одноместные предикаты, определение события

Обозначается Р(х), но х – имеет двузначную область определения {высокий, низкий}

х{H,L}

х{включено, выключено}

х{если, нет} и т.п.

Пример:

х – контакт

Р(х) - состояние контакта

Р(х) = {х замкнут} – утверждение (его истинность от х)

Э лектронная схема:

интерпретирует этот предикат

Р(х) = {х - замкнут} – True

P(x) = {х - разомкнут} – False

Р(х) = {х - сигнал} __ - есть сигнал; ----- - нет

интерпретация: детектор

Во всех случаях значения предиката с использованием двоичного кодирования отождествляется с значением переменной, т.о. переменная заменяет символ предиката Р(х) ~ х

Логические связки &, ,  применяется к событиям и позволяет формулировать составные утверждения в виде формул с предикатами. Связки имеют тот же смысл, что и в логике высказывания.

П ример: работа инкрементного датчика

Ф1

/Ф1

Ф2(,H,L)

\Ф2

Ф1 { -положительный фронт; -отрицательный фронт }

Ф2{H,L} влево  Ф1&Ф2 и вправо: Ф1 & Ф2 условие формулы

Во всех случаях формула с предикатами является булевой функцией и интерпретация сводится к вычислению булевой функций.

Алгоритм логического управления записывается в виде формул с событиями.

Обычно всегда формула содержит импликацию:

А(х₁, . . ., х_n)  В(у) где (х₁, . . ., х_n) – употребляются только связки &, , ,  используется вместо  (для удобства рассуждений)

Предикат В(у) – одномерный исполняемый предикат с двухзначной областью определения.

В(у) ~ у {включить, выключить}

{+1, -1}

Пример: в инкрементном датчике включается координата

S – текущее положение, путевая координата

S+:Ф₁ & Ф₂ или то же S-:Ф₁ & Ф₂

 

+1 -1

Пример управления прессом.

Задача: Включить двигатель (Д), если S₁,S₂,S₃ – выключены и х – замкнуты или у – разомкнут и плунжер двигается вниз.

Запись утверждена:

Д = S₁,S₂,S₃ & (х  y&П) – формальное описание алгоритма позволяет выбрать

интерпретацию:

а) аппаратная интерпретация (схема)

б) программная

а) б) МСS51(на ассемблере)

S 1 1 & программа:

S 2 mov C,S S₁  C

S 3 orl C,S S₂  C  C

orl C,S S₃  C  C

1 Д mov R,C C  R

mov C,П П  C

y & anl C,y C & y  C

П anl C,x x  C

anl C,R S & R  C

mov Д,C C  Д