Нормальные формулы с предикатами.

Определение: предваренная нормальная форма для формулы F называется форма, которая содержит цепочку кванторов: F = K₁x₁,K₂x₂, . . . K_nx_n (префикс)

М  матрица, и следующую за ней формулу без квантора.

Любая формула с кванторами может быть преобразована в ПНФ с применением тождественных подстановок:

1) импликация и эквивалентность заменяются дизъюнкцией и конъюнкцией:

Пример: К_х(p(x)q(x))  K_x(p(x)  q(x))

2) применение правила де Моргана для устранения инверсий перед кванторами:

Vx p(x) = x p(x)

3) применение замены переменных:

K_х p(x)  K_y p(y)

4) применение правил расширения области действия квантора.

Общие формулы расширения области действия:

Kx p(x)  Kx p(x) = Kx Ky (p(x)  p(y))

Область действия расширяется.

Это справедливо всегда, если кванторы одинаковы (т.е. оба  или ), порядок кванторов любой.

Если кванторы разные:

х p(x)  x q(x)  x y (p(x)  q(y))

для одноместных предикатов

кванторы коммутативны

Для многоместных предикатов коммутативность не выполняется. Проверим это:

x y p(x,y)  (i,j) = (a  c)(b  d) = F

yx p(x,y)  (i,y) = ab  cd  (a  c)(a  d)(b  c)(b  d) = f F

f F  F

Строго соблюдать порядок применения расширения области действия квантора.

Пример:

x p(x)  x q(x,y) & z r(z) = x p(x)  z(x q(x,y) & r(z)) =

= z(x p(x)  x q(x,y) & r(z)) = z(x p(x)  t q(t,y) & r(z)) =

= z x(p(x)  t q(t,y) & r(z)) = zxt(p(x)  q(t,y) & r(z))

Логический вывод в исчислений предикат.

Исчисление предикат рассматривается, как аксиоматическая теория, в которой может быть выведены все общезначимые формулы.

Аксиомами являются обобщенные схемы Гильберта и Анкермана, а также правила вывода.

Правила вывода.

1) правило индивидуализаций (А4)

xA(x) | A(t), где t – свободны для x в А(х)

x A(x)  A(x)

x A(x)  A(в) – удаление конъюнкции

x A(x)  A(f(x))

x A(x)  A(y) – переименование

2) правило существования (Е₄ - Мендельсон)

A(t)  x A(x)

частный случай

A(x)  x A(x)

A(в)  x A(x) – введение дизъюнкции

A(f(x))  x A(x)

A(y)  x A(x)

3) Правило обобщения (Generalization)

A(x)  x A(x)

4) Правило выбора С(choice) С-правило

x A(x) A(в)

5) Правило вывода (МП правило)

Определение: Формула В выводима в логике предикатов (В), если может быть построена цепочка формул: В₁ . . . В либо аксиома, либо применение правило.

Пример: Доказать, что выводимо

 x, x₂ A x₂x₁A

1) xx₂A (гипотеза);

2) x₂А (правило А4);

3) А (правило A4);

4) x₁A (Gen);

5) x₂x₁A (Gen).

Теорема: Если в исчислений предикатов в выводимо (), то В – общезначимо.

Утверждение Геделя: если формула В общезначима, то она является теоремой (т.е. она выводима: В).

Утверждение о непротиворечивости: не выводимо А и А одновременно.

Определение: Формула В выводима (В) из гипотез Г=F_­1,F₂, . . . F_m.

Г  В, если существует последовательность формул, которые получены из гипотез с применением аксиом и правил вывода.

Пример: x (p(x)  q(x)), x p(x)  x q(x)

1) x (p(x)  q(x) (гипотеза);

2) Vx p(x) (гипотеза);

3) р(а)  q(a) (С-правило);

4) р(а) (А_­4­,2);

5) q(a) (МП – правило 3,45);

6) х q(x) (Е_­4­).

Теорема: Формула В – логическое следствие из гипотез Г=F_­1­,F_­2­…F_­m­ тогда и только тогда, когда в любой интерпретации I конъюнкция F_­1­&F_­2­&…&F_­m­B - тавтология (общезначимость формулы).

Гипотезы формулируются, преобразуются в ПНФи после этого проверяется общезначимость. Пример:

 x(p(x))q(x)

p(a)

q(a)

1. интерпретации

(_­2­(i)_­2­(i))&_­2­(a)_­2­(a)

(aA)(bB)…(dD)&aA

aA(bB)…(dD)A – тавтология (УК)

2. прямая волна

1. x (p(x))q(x) – гипотеза;

2. p(x)q(x) – А_­4­(конкретизация);

3. x (p(x)-q(x)) – правило существования Е_­4­;

4. p(a)q(a) – С-правило к 3);

5. p(a) – гипотеза;

6. q(a) - МП-правило(4,56)

Данный метод неэффективен.

Теорема: Формула В – логическое следствие из гипотез Г=F_­1­,F_­2­…F_­m­_­­,если F_­1­&F_­2­&…&F_­m­&B противоречиво.

В частном случае Г=1, В противоречиво,тогда В – выводимо (В).

Метод Дэвиса – Патнема можно применить, если исключить кванторы. Пусть формула находитсся в ПНФ Kx₁,Kx₂, . . . Kx_n­М(x_­1­…x_­n­)

1). Если Kx₁­ (первый слева квантор,не предшествующий квантору всеобщности x_i),то можно применить С-правило, которое позволяетустранить (вычеркнуть, элиминировать) вместо всех вхождений переменной x_­1­ подставляется произволная постоянная из области интерпретации

 x(p(x)q(x))p(a)q(a)

2). Если квантору существования предшествует n кванторов всеобщности, то вместо соответствующей переменной x_­n+1­ подставляется функция f(x_­1­…x_­n), после этого квантор  элиминируется

 x_­1­ x_­2­… x_­n­  x_­­_­n+1­ x_­n+1­ M(x_­1­…x_­n+1)

n f(x_­1­,x_­2­…x_­n)

f(x_­1­,x_­2­…x_­n) – Сколемовская функция (Scolem).

Обоснование: если квантор  находится в области действия кванторов , то после устранения квантора существования значение этой переменной зависит от значения предшествующих переменных с кванторами  и эта функциональная. После устранения кванторов  формула называется Сколемовской Стандартной Формой.

Пример:

 x y z u v w p(x,y,z,u,v,w)

a f(y,z) g(y,z,v)

По правилу А4 можно исключить все кванторы  и прийти к Сколемовской Формуле без кванторов.

Матрица М приведена к КНФ и представляетс собой множество дизюнктов S.

Теорема: Формула F противоречива, если S противоречимо (невыполнимо),если существует вывод пустого дизъюнкта.

Правило Дэвиса – Патнема применимо к предикатам P(t_­1­…t_­n­) и P(l_­1­…l­_­n­), где t_­i ­и l_­i­ – термы, если существует унифицирующая подстановка аргументор предикатов, при которых однотипные предикаты совпадают.

Унификация – процедура выбора унифицирующей подстановки.

P(t_­1­…t_­n­) , то {t_­1­/l_­1­…t_­i­/l_­i­}

P (l_­1­…l­_­n­) множество рассогласования

Для каждой пары подстановка возможна, если один из термов – переменная, если найдется такая переменная в одном из термов, которую можно заменить частью или полностью другим термом.

x/y xy

x/a xa

x/f(y) xf(y)

x/f(x) xf(x)

После того, как подстановка найдена, она выполняется для всех вхождений переменной. Эту подстановку можно рассматривать как частичную интерпретацию. При если унификация возможна, то возможно применение правил Дэвиса – Патнема к соответствующим предикатам. Если унификация невозможна, то невозможна и интерпретация на любом интервале и вывод невозможен.

Порядок применения метода Дэвиса – Патнема.

1)привести формулы к ПКНФ;

2)привести формулы к Сколемовской Стандартной форме без кванторов;

3)применить правила Дэвиса – Патнема с использованием унификации.

Пример:

F_­1­:x (c(x)w(x)&r(x))

F_­2­: x (c(x)&o(x))

G: x(o(x)&r(x))

1. приводим к ПКНФ

F_­1­:x (c(x)w(x)&r(x))=>(c(x)w(x)&(c(x)r(x))

F_­2­: x(c(x)&o(x))c(a)&o(a)

G : x (o(x)&r(x))( x(o(x)&r(x))

 c(x)w(x) c(a)w(a)x(o(x)&r(x)) w(a)

 c(x)r(x) c(a)r(a) r(a)  (противоречие,

c(a) c(a) r(a) невыполнимо)

o(x)r(x) o(a)r(a)

o(a) o(a)

Для формализации машинного вывода алгоритм Дэвиса – Патнема заменяется правилом резолюций.Уточнения:

1. приводится к ПКНФ;

2. приводится к Сколемовской форме;

3. правило резолюции к контрарным предикатам, если существует унификация.

Пример:

F_­1­:x (c(x)w(x)&r(x))

F_­2­: x (c(x)&o(x))

G: x(o(x)&r(x))

c(x)w(x) c(x)r(x) c(a) o(a) o(x)r(x)

 c(a)w(a) x=a

r(a) r(a)

Этот метод связан с перебором.