Метод Дэвиса и Патнема.

По этому методу задача формулируется также в виде формулы F₁&F₂&…&F_n&B. Формулируется несколько правил, которые позволяют ответить на вопрос: «Выводима ли формула?», «Выполнима ли формула?» Формула невыводима, если она выполнима (существует такая интерпретация, при которой формула истинна).

Правила:

1)Правило тавтологии

Исходное рассуждение приводится к КНФ и представляет собой множество дизъюнктов S. Вычеркиваются все тавтологические дизъюнкты: (aaистина)

S^= S^

(S^ выполнимо и (S^ выполнимо или невы-

вывод опровергается) полнимо, когда S выпол

нимо или невыполнимо)

2)Правило однолитерных дизъюнктов:

а)можно вычеркнуть все однолитерные дизъюнкты, т.к. выполнимость зависит от истинности (однолитерный дизъюнкт). И оставшееся множество S^ выполнимо (невыполнимо) тогда и только тогда, когда S выполнимо (невыполнимо)

S^= S^

(S выполнимо) (S^~S)

б) если присутствуют однолитерные дизъюнкты L, и есть ещё один дизъюнкт, который содержит L, то (LA) тоже вычеркивается;

L&(LA)=L - вычёркивается

S’= S’

S – выполнимо, S’~S

В – опровергается

в) если есть однолитерные дизъюнкты L и если найдем дизъюнкту, которая содержит L (LA), то в дизъюнктах можно вычеркнуть L

L&(LA)~L&(LA)A

A=S’= A=S’

Множество S невы- S’~S

полнимо

Пример:

A B AB AB правило AB правило

AC - гипотезы AC AC однолитерных A однолитерных 

BD BD BD дизъюнктов B дизъюнктов

CB - доказать (CD) C C,D

отрицание вывода D

Доказано, что CD - теорема.

Пример:

p q pq правило p это является опровержением

pqr pqr однолитерных pr r теоремы

q q дизъюнктов

3) Правило Дэвиса-Патнема

Правило чистых литер:

Литера L – чистая, если в множестве дизъюнктов S не существует ни одной дизъюнкты с отрицанием L (L). По правилу вычеркиваются все дизъюнкты, содержащие L

(LA₁)&(LA₂)

S ’=S’\(LS)

S’= S’ 

S выполнимо при L= S’~S

Пример:

P Q PQ PQ правило

PQ PQ PQ чистых => (S – выполнимо,

RQ RQ RQ литер R&Q

R&Q (R&Q) RQ P,R

4) Правило расщепления

Множество дизъюнктов S – непустое и не применимы правила 1),2),3).

S=(LA₁)&(LA₂)&…(LB₁)&(LB₂)&…&R

R –не содержит ни L и ниL

S₁={A₁,A₂…} – встречаются с L

S₂={B₁,B₂…} – встречаются с L

Утверждается, что S – выполнимо (невыполнимо) тогда и только тогда, когда S₁S₂ выполнимо (невыполнимо). Можем записать

S =(LS₁)&(LS₂)&R

(LA₁)&(LA₂)=LA₁&A₂

п роизвольная интерпретация I

L L

В ыполнение зависит от S₂ S₁

выполняется (не выполняется) S₁S₂

Не выполняется (  ), если S₁S₂   . Дизъюнкция S₁S₂ должна быть преобразована в конъюнктивную форму:

( S₁S₂)  A₁&A₂&…&A_nB₁&B₂&…&B_n=(A₁B₁)&(A₂B₂)&…&(A_nB_n)

содержит n*m дизъюнктов