Методы правильных рассуждений:

1).Закон контрапозиции (доказательство от противного):

(pq)(qp) - тождество

предполагается что не q, доказывается, что не p  приходим к противоречию. Доказательство, что если q , то p противоречие

Если p – ложно, то p – истина.

(p  q )=( q p ) – тавтология

2).Закон косвенного доказательства:

(pq)&(pq)p

q,q – противоречие, следовательно, p – истина.

3).Доказательство разбором случаев:

(pq)&(pr)&(qr)r:

Нужно доказать r

Разбираются возможные случаи: доказывается, что pr и qr. Отсюда следует, что r – истина.

4).Доказательство цепочкой импликаций (свойство транзитивности импликаций):

(pq)&(qr)(pr)

Требуется доказать, что (pr). Выбирается промежуточное утверждение q и последовательно доказывается (pq), потом (qr). Затем вывод (pr).

1.3 Исчисление высказываний – формальная аксиоматическая теория.

Множество высказываний в некоторой области образует предметную область теории. Меньшая часть этих высказываний считается истинной или доказуемой.

В математической теории истинные высказывания называются доказуемыми или теоремами. Теоремы выводятся из некоторых фиксированных заранее высказываний, которые называются аксиомами.

Определение. Формальное доказательство – последовательность высказываний или теорем, каждая из которых либо аксиома, либо подстановка в аксиому, либо выводится логически по правилам вывода. Последнее высказывание и есть теорема.

Логика высказываний является аксиоматической теорией. Теоремами являются тавтологии.

Множество первичных аксиом называют схемами аксиом – минимальное подмножество аксиом теории, из которого следуют все остальные тавтологии.

1.Схема аксиом Гильберта и Анкермана

А1).ААА;

А2).А(АВ);

А3).(АВ)(ВА);

А4)(АВ)(САСВ).

Можно подставлять вместо символов любые формулы, но формулы остаются тавтологиями.

Пример:

А2)ААВ (АВ)(АВ)(СD)

А3) ААА

2.Схема аксиом Чёрча.

А1)(p(qr))((pq)(pr));

А2)p(qp);

А3)(pq)(qp).

Определение. Логическая формула В является логическим следствием формулы А

(АВ), если для любой интерпретации I значение В – «истина» всякий раз, когда значение А – «истина».

Из определения следует, что В является следствием А тогда и только тогда, когда АВ – тавтология.

A(I)B(I)1

Теорема 1: Если А – тавтология и АВ – тавтология, то В – тавтология.

Обобщение тавтологии в виде логического правила вывода

A&(AB)B А,АВ (если А – тавтология и АВ – тавто

МП-правило (modus penuus) В логия, то В – тавтология).

Если формула В – теорема логики высказываний, т.е. следует из аксиом, то это обозначается «В».

Теорема 2: Если в вычислении высказываний А выводимо, то А – тавтология.

Утверждение о полноте теории. Если формула А – тавтология, то она является теоремой исчисления высказываний.

Утверждение о непротиворечивости. Не существует формула А такой, что А и А являются теоремами.

Следствие: Существуют формулы, которые не являются тавтологиями. Если А – тавтология, то А – не тавтология (противоречивость).

Пример: Нужно доказать АА.

Воспользуемся схемой аксиом Гильберта и Анкермана. Вывод – цепочка формул, где каждая формула или аксиома, или применение аксиомы или формула, полученная МП-правилом. Последняя формула этого вывода – теорема.

1. ААА (А1);

2. (АА)(А(АА)АА) (из А4: С=А, А=АА, В=А);

3. А(АА)АА (МП: (1,2)3);

4. (А(АА))(АА) (тождественная замена дизъюнкции импликацией);

5. ААА (А2: ВА);

6. АА (МП: (4,5)6);

7. АА (замена импликации на дизъюнкцию);

8. АААА (А3: В=А, А=А);

9. АА (МП: (7,8)9).

Метод вывода с использованием аксиом неэффективен – направленная стратегия применения аксиом. Само применение основано на интуиции.

Тьюринг и Чёрч доказали, что аксиоматическая система не имеет разрешающей алгоритмической процедуры.