Многоместные предикаты (мп)

Если n >> 2, то МП (n – количество переменных)

Р(t₁, . . . t_n), t₁, . . . t_n – термы t_j – переменная const из D

t_j – переменная х  D

t_j – f(x₁, x₂, . . . x_n): D_nD

Смысл формулам с предикатами дает интерпретация:

1) задание области интерпретации D; x₁, . . . x_n  D

2) символы предикат – n – местные отношения на D;

3) функция f(x₁, x₂, . . . x_n): D_nD

4) константа аD

Предикат выполним, если n – местное отношение истинно хотя бы на одной подстановке из D. Предикат обозначим, если истинно на всех подстановках. Если в предикате от двух переменных заменить одну значением из области интерпретации, то получим множество предикатов, зависимых только от одной переменной: Р(х,1) . . . Р(х, к) . . . Р(х,n), где 1, … к, … n  D.

Для интерпретации одноместных переменных достаточно 2:

М₁={1,2}  х,у  D = М₁ = {1,2}

Для рассмотрения любых n – местных предикат достаточно рассмотреть область интерпретации:

М₁ = {1, . . . 2ⁿ}

Р(х)  (х₁ . . . х_n) 

Пример: х Vу р(х,у) – является ли общезначимой?

М₁ = {1,2} = {а,в}

1) х (р(х,а)  р(х,в)) – применение квантора Vу

2) ((а,а) & (a,в)) v ((в,a) & (в,в))

А В С D

- после применения квантора х

А & В v С & D – выполнимая формула  исходная формула не общезначима.

Этот способ распространяется на все формулы с одноместными предикатами.

Определение: Теория первого порядка – логическая система с предикатами, аргументы которых не являются предикатами.

Со связками (и, или, не) или их аналогами (, , &).

- используются переменные из области интерпретации D.

- возможно использование пустого множества предикатных символов.

- содержит функциональные буквы f(x₁, . . . x_n).

- содержит множество предикатных const  D.

Теория – некоторая интерпретация, в которой выполняются законы логики предикатов, используется собственные символы и собственные законы, или аксиомы.

Определение: Теория первого порядка, не содержащая собственных аксиом и символов называется исчислением предикат первого порядка.

Определение: Модель теории первого порядка – всякая интерпретация конкретной теорий, в которой истины все ее законы.

Примеры теорий и моделей:

1. Теория бинарных отношений.

Бинарные отношения - двуместное отношение, которое определяется предикатом.

Характеризуется свойствами:

1) симметричность (a,b)(b,a)  D (антисимметричность, несимметрична)

2) рефлексивность (а,а)  D

3) транзитивность

2. Теория строгого упорядочения – используется единственный предикатный символ р(х₁,х₂)

р(х₁,х₂) = х₁ < х₂

р(х₁,х₂) = х₁ < х₂

Аксиомы:

1 ) антирефлекторность x₁(x₁<х₂)

2 ) антисимметричность x₁x₂(x₁<х₂  х₂ < x₁)

3) транзитивность x₁x₂x₃((x₁<х₂) & (х₂ < x₃)  (x₁ < x₃))

Модель теорий строгого порядка на множестве целых чисел.

(х < у):D – целые числа {1,2, . . . n}

Введем двоичное кодирование х = х₁х₂х₃ у = у₁у₂у₃

( х < у) = ((х₁х₂х₃) < (у₁у₂у₃)) = x₁ < y₁ v (x₁ < y₁) & (x₂ < y₂ v x₂ < y₂ & x₃ < y₃)

x₁y₁  x₁ y₂ & (x₂y₂  x₂ y₂ x₃y₃)

Расширение области действия предиката.

- формула замкнута:

Кх р(х)  Kx q(x) ? K(x)(p(x)  q(x))

1) ограничимся квантором существования:

х р(х)  х q(x) ? х(p(x) q(x))

рассмотрим отдельно левую часть:

 ₁(i)  ₂(i) = a  в  c  d  A  B  C  D

М₁ = {1,2,3,4}

для ₁(i) = а b с d для ₂(i) = А В С D

рассмотрим отдельно правую часть:

х (р(х)  q(x)) =  (₁(i)  ₂(i)) = (a  А)  (в  B)  (c  C)  (d  D) =

=a  b  c  d  A  B  C  D

2) проверим квантор всеобщности:

x p(x)  x q(x) ? x (p(x)  q(х))

левая часть:

x p(x)  x q(x) = ₁(i)  ₂(i) = аbсd  ABCD

правая часть:

x (p(x)  q(x)) = (₁(i)  ₂(i)) = (а  A)(b  B)(с  C)(d  D)

Для левой части:

(а  A)(а  B)(а  C)( a  D) . . . (d  A)(d  B)(d  C)(d  D) = f & F

По правилу удаления конъюнкции: f & F  F  тавтология

т.е. получим, что вместо ? нужно поставить знак импликации ()

x p(x)  x q(x)  x (p(x)  q(х))

Аналогично можно выразить и другие формулы.

Пример:

Кх р(х)  Kx q(x) ? K(x)(p(x)  q(x))

x p(x) & x q(x) = x (p(x) & q(х))

х р(х) & х q(x)  х(p(x) & q(x)

Интерпретируем выражение: (х < у) = (х₁х₂х₃ < у₁у₂у₃)  на множестве двоичного кода  х₁ < у₁ v (х₁ = у₁ v х₂ = у₂ (х₃ < у₃))

Пример: (х<5)(х₁х₂х₃ < 101)  (х < y)=x₁ < y₁ v (x₁ = y₁)(x₂ <y₂ v x₂ = y₂(x₃ < y₃))

 x₁ v x₁( v x₂x₃) = x₁ v x₂x₃  схема  программа