Глава 1. Логика высказываний

1.1 Логика высказываний

Простые высказывания – простые предложения, истинные или ложные по смыслу. Высказывания обозначаются буквами – А – атом (атомарная формула), которая может принимать значение «Истина» или «Ложь». Из простых высказываний можно составлять составные высказывания при помощи связок:

1).конъюнкция

А	В	А&В
И	И	И
И	Л	Л

2 ). дизъюнкция

А	В	А В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

3). отрицание

A	А
И	Л
Л	И

4). импликация А – посылка, В – следствие

А	В	А В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

5). эквивалентность ( ,~)

А	В	А ~ В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	Л
Л	Л	Л

Определение. Правильная формула – это:

1) атомарная формула;

2)если G – формула, то G – тоже формула;

3. А&В, А + В, АВ, А ~ В – это формулы, если А и В – формулы;

4. повторное применение 2) и 3)

Определение.

1. если G и H – формулы, то формула G истинна, когда G – ложно;

2. G&H – истина тогда и только тогда, когда G и H – истинны;

3. GH – истина, если истинно хотя бы одно из высказываний, ложно, если оба ложны;

4. АВ,А – посылка, В – следствие; смысл – причинно-следственная связь,если посылка ложна, то следствие может быть любым;

5. А~В – истина тогда и только тогда, когда истинность А и В совпадает.

Связки: ~,,,&

Ранг связок – область действия связки.

min max

Скобки используются для обозначения области действия. Если область действия очевидна, их можно опускать.

(Q(S&(A(B))))=QS&(AB)

Определение. Пусть задана формула G=G(A,B,C,D), где A,B,C,D – атомы.Подстановка конкретных высказываний (или просто их значений И или Л) называется интерпретацией.

При интерпретации составное высказывание также принимает значение И или Л, которое может быть определено по таблицам истинности.

Если в формуле n атомов, то таблица истинности содержит 2ⁿ переборов. Значение истинности определяется последовательно с учетом ранга связки.

Пример:АВС

А	В	С	А	АВ	АВС
Л	Л	Л	И	И	Л
Л	Л	И	И	И	И
Л	И	Л	И	И	И
Л	И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	Л	И
И	Л	И	Л	Л	Л
И	И	Л	Л	И	Л
И	И	И	Л	И	И

Для всевозможных интерпретаций всякая логическая формула является истинностной функцией, аргументами которой являются атомы и функция принимает значения «И» ил «Л».

Пользуясь таблицами истинности, функции разделяют на три класса:

1. тавтологии – формулы, истинные на всех наборах атомов (АВ)&АВ;

2. противоречия – формулы, ложные на всех наборах атомовА&А;

3. случайные (выполнимые) – существует интерпретация, при которой формула истинна:

а) если формула F истинна в интерпретации I, то F выполнима в I, при этом I – модель F;

б) если формула F ложна в I, то F опровергается в I.

Теорема 1: Если формула В – тавтология и формула В^*, полученная из В при подстановке формулы А вместо любого вхождения символа В, то формула В^* - тоже тавтология.

Исчисление тавтологий – множество тавтологий, которое можно получить в результате подстановок.

Пример:

АВА

А=СP&B

(CP&B)B(CP&B)

«Проблема разрешимости» - существует ли метод или алгоритм. Который позволяет за конечное число шагов определить, является ли формула тавтологией. Она решается положительно методом таблиц истинности.