1.4 Логический вывод

Практическая цель логики – сформулировать алгоритм для подтверждения правильности рассуждений исходя из истинных по определению (убеждению или опыту) посылок или гипотез.

Определение. Формула В называется логическим следствием из гипотез F₁F₂…F_m(m1), если при всякой интерпретации F₁(I)…F_m(I),B(I) , если F₁F₂…F_m истинны, то и В – «истина».

Обозначается F₁F₂…F_mВ.

При m=1 мы получаем просто формулу или теорему исчисления FB и это справедливо, когда FB - тавтология.

При m>1

Теорема 1: Формула В –логическое следствие из гипотез F₁F₂…F_mВ тогда и только тогда, когда эта формула следует из конъюнкции F₁ & F₂ &…&F_mВ или импликация F₁ & F₂ &…&F_mВ.

Если (F₁ & F₂ &…&F_m)В, то FB m=1совпадает с определением F.

Теорема 2: В является логическим следствием из гипотез F₁F₂ …F_m тогда и только тогда, когда F₁(F₂(…(F_m-1(F_mB))- тавтология.

Берём тавтологию

((А&В)С)(А(ВС)). Последовательно применяя эту тавтологию к F₁&(F₂&…&F_m)В , т.е. F₁&FB(F₁(FB)).

F

Таким образом, логический вывод доказывается общезначимостью некоторой формулы. Соответственно, можно применить для доказательства таблицы истинности, алгебру и аксиоматическую теорию.

Алгоритм. Доказательство – цепочка формул А₁,А₂…А_i…А_t,В, где А_i – формула, полученная либо из гипотез, либо применением аксиом, или ранее полученные формулы – аксиомы – результат применения правил вывода.

Правила вывода (упрощают доказательство) являются обобщением многократно применяемых тавтологий:

1)МП-правило

A&(AB)B; A,AB

B

2)Удаление конъюнкции (УК)

p&qp; p&qq

p&q p&q

p q

3)Введение конъюнкции (ВК)

p&qp&q p,q

p&q

4)Введение дизъюнкции (ВД)

ppq p

pq

5)Удаление дизъюнкции (УД)

УД1: (pq)&pq pq,p

q

УД2: (pq)&pq pq,p

q

6)Дизъюнктивное расширение (ДР)

(pq)(pbqb) pq

pbqb

7)Транзитивная импликация (ТИ)

(pr)&(rq)(pq) pr,rq

pq

Пример:

AB,AC,BD

CD

1) AC (гипотеза);

2) ABCB (ДР 12);

3) BD (гипотеза);

4) CBCD (ДР 34);

5) ABCD (ТИ 2,4 5);

6) AB (гипотеза);

7) CD (МП 5,6 7).

Пример:

(A1&A2)B,A1&C,CA2

B

1) A1&C (гипотеза);

2) A1 (УК 12);

3) C (УК 13);

4) CA2 (гипотеза);

5) A2 (МП 3,45);

6) (A1&A2) (ВК 2,56);

7) (A1&A2)B (гипотеза);

8) B (МП 6,78).

Метод математической индукции.

Метод математической индукции – обобщение правил логического вывода.

Алгоритм:

1. утверждается высказывание P(0) ,которое называется базисом индукции;

2. доказывается утверждениеP(0)P(1);

3. доказывается P(n)P(n+1);

4. последовательное применение МП-правил: P(0),P(1)…P(n+1)

И таким образом доказывается P(n+1).

В рассматриваемых задачах использовался метод доказательства от гипотез к цели

(«прямая волна»).Этот метод неэффективен, т.к. возможно зацикливание.

Метод обратного вывода от цели

(«обратная волна»).

По смыслу это доказательство от противного. Предполагается, что заключение неверно и доказывается, что исходные посылки неверны.

Теорема3: F₁,F₂…F_nB

B выводится из гипотез F₁,F₂…F_n тогда и только тогда, когда F₁&F₂&…&F_n&B противоречиво или F₁&F₂&…&F_n&B - пустая формула.

Доказательство:

F₁&F₂&…&F_n B – тавтология

 (F₁&F₂&…&F_nB) – противоречие

 (FB)=(FB)=F&B= F₁&F₂&…&F_n&B

Пример:

AB,AC,BD

CD

1. AB;

2. AC;

3. BD;

4. (CD);

5. C&D (правило де Моргана 45);

6. C (УК 56);

7. D (УК 57);

8. CA (закон контрапозиции 28);

9. DB (закон контрапозиции 39);

10. A (МП 6,810);

11. B (МП 7,91);

12. B (УД 1,1012);

13. A (УД 1,1113);

14.  (A&A, B&B).

Ограничением этого метода является то, что если пустая формула не выводится, то происходит зацикливание.