2. Практическое задание

Клиенты приходят в офис банка со средней интенсивностью один человек каждые 6 минут, на обслуживание одного клиента тратится в среднем по 15 минут. Исходя из распределения Пуассона входящего потока клиентов и экспоненциального распределения времени обслуживания, определите минимальное количество служащих, занимающихся обслуживанием клиентов. При минимальном количестве служащих рассчитайте:

1) Из скольких человек в среднем состоит очередь?

2) Сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди?

3) Какова вероятность того, что пришедший клиент обнаружит в системе одного человека, или более?

Если на компьютеры служащих будет установлено новое программное обеспечение, позволяющее на 25% быстрее обрабатывать запросы клиентов, каким будет минимальное количество служащих, и как изменятся ответы на вопросы 1, 2, 3? Какими будут ответы на эти вопросы, если количество служащих будет больше минимального на одного человека (с учетом нового программного обеспечения)?

Как изменятся ответы на вопросы 1, 2, 3, если нанять еще одного служащего, который будет работать с той же средней интенсивностью, что и остальные (15 минут на одного клиента)?

Какой из вариантов действий наиболее предпочтителен для администрации банка:

1. Нанять минимальное количество служащих;

2. Нанять служащих, в количестве больше минимально необходимого;

3. Установить новое программное обеспечение и нанять минимальное количество служащих;

4. Установить новое программное обеспечение и нанять служащих в количестве минимальное плюс один. Учитывая, что оборудование рабочего места обойдется в 25 000 рублей (срок службы оборудования 3 года), заработная плата служащего с учетом социальных отчислений составит 18900 рублей в месяц. Покупка программного обеспечения обойдется в 150 000 рублей на каждое рабочее место (лицензия на программное обеспечение действует 3 года). Кроме того, известно, что клиенты не станут ждать в очереди более 10 минут (покинут систему не обслуженными и банк потеряет прибыль). Известно, что из-за потери одного клиента банк недополучает в среднем 2000 рублей прибыли. Банк работает 8 часов в день 5 дней в неделю. Обосновать свой выбор.

РЕШЕНИЕ:

1. По условию Тоб одной заявки = 15 минут. Найдем величину интенсивности входящего потока заявок λ и интенсивность обслуживания μ:

λ = 60 мин/час : 6 мин/чел = 10 чел/час

μ= 60 мин/час : 15 мин/чел = 4 чел/час

Отсюда среднее количество заявок, одновременно находящихся на обслуживании ρ:

Отсюда минимально необходимое количество служащих Nmin=3, т.к. Nmin>ρ, иначе очередь растет до бесконечности.

Определим вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента Ро:

Следовательно, вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента равна 2,44%

1. Ответим на вопрос, из скольких человек в среднем состоит очередь:

Т.е. в среднем очередь состоит из 3,66 человек.

2) Определим, сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди:

Таким образом, в среднем клиенты проводят в очереди 21,96 минуты.

3) Определим вероятность того, что пришедший клиент обнаружит в системе одного человека и более:

Таким образом, данная вероятность равна 97,56%

2. Рассмотрим, как изменится ситуация, если на компьютеры служащих будет установлено новое программное обеспечение, позволяющее на 25% быстрее обрабатывать запросы клиентов:

Время обслуживания в данном случае сократится на 25%, т.е.

Тобсл=15-15*25%=11,25 мин

Отсюда:

λ = 60 мин/час : 6 мин/чел = 10 чел/час

μ= 60 мин/час : 11,25 мин/чел = 5,3 чел/час

Отсюда среднее количество заявок, одновременно находящихся на обслуживании ρ:

Отсюда минимально необходимое количество служащих Nmin=2, т.к. Nmin>ρ.

Определим вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента Ро:

Следовательно, вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента равна 3,09%

1. Ответим на вопрос, из скольких человек в среднем состоит очередь при использовании программного обеспечения:

Т.е. в среднем в очереди будет находиться 14,25 человека.

2) Определим, сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди:

Таким образом, в среднем клиенты проводят в очереди 85,5 минут.

3) Определим вероятность того, что пришедший клиент обнаружит в системе одного человека и более:

Таким образом, данная вероятность равна 96,96%

3. Рассмотрим, как изменится ситуация, если на компьютеры служащих будет установлено новое программное обеспечение, позволяющее на 25% быстрее обрабатывать запросы клиентов, и если количество служащих будет больше минимального на одного человека.

Отсюда среднее количество заявок, одновременно находящихся на обслуживании ρ:

Отсюда минимально необходимое количество служащих Nmin=2+1=3.

Определим вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента Ро:

Следовательно, вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента равна 13,38%

Ответим на вопрос, из скольких человек в среднем состоит очередь при использовании программного обеспечения:

Т.е. в среднем в очереди будет находиться 0,669 человек.

2) Определим, сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди:

Таким образом, в среднем клиенты проводят в очереди 4 минуты.

3) Определим вероятность того, что пришедший клиент обнаружит в системе одного человека и более:

Таким образом, данная вероятность равна 86,72%

4. Рассмотрим, как изменится ситуация, если нанять еще одного служащего, работающего с той же интенсивностью, что и остальные (15 минут на одного клиента):

λ = 60 мин/час : 6 мин/чел = 10 чел/час

μ= 60 мин/час : 15 мин/чел = 4 чел/час

Отсюда среднее количество заявок, одновременно находящихся на обслуживании ρ:

Отсюда минимально необходимое количество служащих Nmin=3+1.

Определим вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента Ро:

Следовательно, вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента равна 7,37%

1. Ответим на вопрос, из скольких человек в среднем состоит очередь:

Т.е. в среднем очередь состоит из 2,68 человек.

2) Определим, сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди:

Таким образом, в среднем клиенты проводят в очереди 3,18 минуты.

3) Определим вероятность того, что пришедший клиент обнаружит в системе одного человека и более:

Таким образом, данная вероятность равна 92,63%

Выбирая из 4 возможных вариантов, сразу отказываемся от первого при минимальном количестве служащих, т.к. время в очереди гораздо больше 10 минут = 21,96 минут. При этом варианте терем клиентов. Также отказываемся от варианта, когда будет установлено новое компьютерное обеспечение, так как время ожидания составит 85,5 мин. Удостоверимся в том, что хотя бы 1 клиента в час теряем, для этого снижаем поток на одного человека, следовательно λ_х=9 чел/час.

μ= 60 мин/час : 15 мин/чел = 4 чел/час

Отсюда среднее количество заявок, одновременно находящихся на обслуживании ρ:

Nmin = 3 чел

Определим вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента Рох:

Ответим на вопрос, из скольких человек в среднем состоит очередь:

Определим, сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди:

> 10 минут

Если поток клиентов снизить хотя бы на одного человека, среднее время в очереди все равно будет больше 10 минут, значит одного человека в час мы точно теряем.

Рассмотрим, будет ли потеря хотя бы 1 клиента в час, если на компьютеры служащих будет установлено новое программное обеспечение, позволяющее на 25% быстрее обрабатывать запросы клиентов.

Удостоверимся в том, что хотя бы 1 клиента в час теряем, для этого снижаем поток на одного человека, следовательно, λ_х=9 чел/час.

μ= 60 мин/час : 11,25 мин/чел = 5,3 чел/час

Отсюда среднее количество заявок, одновременно находящихся на обслуживании ρ:

Nmin = 2 чел

Определим вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента Рох:

Ответим на вопрос, из скольких человек в среднем состоит очередь:

Определим, сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди:

> 10 минут

Если поток клиентов снизить хотя бы на одного человека, среднее время в очереди все равно будет больше 10 минут, значит, одного человека в час мы точно теряем

Денежные потери при потере 1 клиента в час (за месяц):

1чел.*2000 руб.*4 нед.*5 дн.*8 час= 320000 руб.

Рассмотрим оставшиеся 2 варианта, при которых клиенты согласны стоять в очереди, т.е. Т_оч<10 мин.

1) На компьютеры служащих будет установлено новое программное обеспечение, позволяющее на 25% быстрее обрабатывать запросы клиентов, и если количество служащих будет больше минимального на одного человека (в месяц и единовременно):

Потери = 150000 руб. +(25000руб./36 мес.)+18900 руб.=169594,4 руб.

2) Если нанять еще одного служащего, работающего с той же интенсивностью, что и остальные (15 минут на одного клиента):

Потери=25000 руб./36 мес.+18900руб.=19594,4 руб.

Из расчетов по вариантам, можно сделать вывод, что наиболее предпочтительный для банка вариант нанять еще одного служащего, работающего с той же интенсивностью, что и остальные (15 минут на одного клиента).