2. Классификация и основные элементы систем массового обслуживания

СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от дисциплины обслуживания требований.

1. По числу каналов n СМО бывают:

А) одноканальные (с одним обслуживающим устройством);

Б) многоканальные (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.

2. По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

a) с неограниченным временем ожидания (очередь). При занятости системы заявка поступает в очередь и в итоге будет выполнена (торговля, сфера бытового и медицинского обслуживания);

b) с отказами (нулевое ожидание или явные потери). «Отказанная» заявка вновь поступает в систему, чтобы её обслужили (вызов абонента через АТС);

c) смешанного типа (ограниченное ожидание). Есть ограничение на длину очереди (автосервис). Ограничение на время пребывания заявки в СМО (особые условия обслуживания в КБ).

В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.

Выделяют следующие виды дисциплины обслуживания:

- FIFO (first in first out: первый пришел, первый ушел);

- LIFO (last in first out: последний пришел, первый ушел);

- Пришедшие в очередь по крайней необходимости обслуживаются первыми;

- Первыми обслуживаются те, на кого тратится меньше времени;

- Первыми обслуживаются наиболее доходные клиенты.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Эффективность функционирования СМО определяется её пропускной способностью – относительным числом обслуженных заявок.

Эффективность работы СМО характеризуется:

1) Показателями качества обслуживания заявок:

• среднее время ожидания заявки в очереди (T очереди);

• среднее время пребывания заявки в СМО (T системы);

• вероятность отказа заявки в обслуживании без ожидания;

• вероятность немедленного приёма заявки;

• среднее число заявок в очереди (L очереди);

• среднее число заявок, находящихся в СМО (L системы).

2) Показатели эффективности функционирования пары «СМО – потребитель», (например, когда доход от СМО и затраты на её обслуживание измеряются в одних и тех же единицах, и отражает специфику работы СМО).

1.3 Модели систем массового обслуживания с ожиданием

Можно выделить несколько основных типов СМО, которые различаются в зависимости от охвата генеральной совокупности, вида распределения входящего потока, дисциплины очереди, структуры СМО и вида распределения времени обслуживания и которые можно представить моделью системы.

Все модели подчиняются следующим формулам:

Интенсивность загрузки канала обслуживания:

ρ= , где λ - интенсивность входящего потока заявок (единиц/ час, единиц/мин.);

μ - интенсивность обслуживания (количество обслуженных заявок в единицу времени) (единиц/час, единиц/мин.)

Среднее количество человек в системе:

L_сис = L _оч + ρ , где L_оч - среднее количество человек в очереди.

Среднее время пребывания в очереди:

T _{оч =}

Среднее время пребывания в системе:

Модель 1. Структура одноканальная, однофазовая. Распределение входящего и исходящего потока заявок Пуассоновское.

Среднее количество заявок в очереди:

L _оч =

Вероятность нахождения n заявок в системе:

Pn=(1- )

Модель 2. Структура одноканальная, однофазовая. Распределение входящего потока заявок Пуассоновское. Распределение исходящего потока заявок - равномерное.

Среднее количество заявок в очереди:

L _оч=

Модель 3. Структура многоканальная, однофазовая. Распределение входящего потока заявок Пуассоновское. Распределение исходящего потока заявок — Пуассоновское.

Вероятность того, что нет заявок ни в очереди, ни на обслуживании:

Po= ,

где N - количество каналов обслуживания.

Вероятность того, что занят один канал (на обслуживании одна заявка):

Вероятность того, что все N каналов заняты, но очереди еще нет

Вероятность того, что все N каналов заняты и г заявок находится в очереди:

Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

Среднее количество заявок в очереди:

Для определения количества клиентов, покидающих систему необслуженными в единицу времени из-за нежелания ждать в очереди дольше Т_ож необходимо найти интенсивность потока , при которой среднее время пребывания в очереди (Т_оч) будет равно максимальному времени ожидания клиентов в очереди (Т_ож).

В многоканальных однофазовых системах обслуживания это может быть сделано с помощью уравнения: