1.4.2. Задания для самостоятельной работы

1.59. Показать, что на границе диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанного заряда диэлектрика  = - ( - 1)  , где  - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, а  - поверхностная плотность заряда на проводнике.

1.60. Проводник произвольной формы, заряженный зарядом q, окружен однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Найти заряд на внутренней и наружной поверхностях диэлектрика.

1.61. Однородный изотропный диэлектрик в виде сферического слоя радиусами а и b>a равномерно заряжен

а) по внутренней поверхности;

б) равномерно по объему.

Представить схематически зависимость напряженности и потенциала электрического поля как функции расстояния от центра сферического слоя.

1.62. Бесконечная плита толщиной 2d из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью  равномерно заряжена с объемной плотностью зарядов . Определить поверхностную и объемную плотности связанного заряда.

1.63. Однородный диэлектрический шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда . Диэлектрическая проницаемость материала шара . Определить объемную и поверхностную плотности связанного заряда.

1.64. Половина пространства между двумя обкладками сферического конденсатора заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , как показано на рис. Заряд конденсатора q. Определить модуль вектора напряженности электрического поля между обкладками как функцию расстояния r от центра.

1.65. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии l от плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью . Определить:

а) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния r от заряда

б) суммарный связанный заряд на поверхности.

1.66. Длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован так, что , где  > 0 и r – расстояние от оси. Определить объемную плотность связанных зарядов в зависимости от r.

1.67. Однородный диэлектрический шар однородно поляризован. Вектор поляризации равен . Найти напряженность электрического поля в центре шара.

1.68.Показать, что на больших расстояниях электрическое поле шара в зад. 1.67 является полем диполя, потенциал которого ( - дипольный момент шара).

1.69. Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом, и напряженность поля в зазоре Е₀. Затем половину зазора заполняют однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью , как показано на рис. Найти модули векторов Е и D в обеих частях зазора, если при введении диэлектрика

а) напряжение на обкладках поддерживается постоянным;

б) заряды на обкладках остаются постоянными.

1.70. Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом, и напряженность поля в зазоре Е₀. Затем половину зазора заполняют однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью , как показано на рис. Найти модули векторов Е и D в обеих частях зазора, если при введении диэлектрика

а) напряжение на обкладках поддерживается постоянным;

б) заряды на обкладках остаются постоянными.

1.71. У плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью  напряженность электрического поля в вакууме равна Е₀ и составляет угол  с нормалью к поверхности диэлектрика. Считая поле внутри диэлектрика однородным, определить поток вектора через сферу радиуса r с центром на поверхности диэлектрика.

1.72. Точечный заряд q находится в однородном изотропном диэлектрике на расстоянии l от его плоской поверхности, граничащей с вакуумом. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика . Определить поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния r от заряда. Исследовать полученный результат при l  .

1.73. Диэлектрическое полупространство с проницаемостью  отграничено от вакуума проводящей плоскостью. На расстоянии l от этой плоскости в диэлектрике находится точечный заряд q. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе с проводящей плоскостью как функцию расстояния от заряда.

1.74. Найти емкость сферического конденсатора с радиусами обкладок R₁ и R₂ ( R₁ > R₂), который заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью  = a/r, где a = const и r – расстояние от центра сфер.

1.75. Цилиндрический конденсатор заполнен двумя цилиндрическими слоями диэлектриков с проницаемостями ₁ и ₂. Внутренние радиусы слоев равны соответственно R₁ и R₂ < R₁. Максимально допустимая напряженность поля в слоях E_m1 и E_m2. При каком соотношении между , R и E_m слоев напряженность поля при повышении напряжения одновременно достигнет значения, соответствующего пробою обоих слоев?

1.76. Имеется двухслойный цилиндрический конденсатор (R₁ < R₂ < R₃). Диэлектрические проницаемости слоев ₁ и ₂ соответственно Предельные значения напряженности электрического поля, при которой наступает пробой, равны соответственно E_m1 и E_m2. При каком напряжении конденсатор будет пробит, если ₁R₁E_m1 < ₂R₂E_m2.