1.2. Применение принципа суперпозиции к расчету

электрических полей

1.2.1. Примеры решения задач

Пример 1. Тонкий диск радиуса а равномерно заряжен м поверхностной плотностью заряда. Определить напряженность электрического поля на оси симметрии диска. Диэлектрическую проницаемость среды принять равной 1.

Как видно из рис. 1.4, напряженность электрического поля, создаваемого элементарным зарядом

,

где .

Учтем, что при наложении полей всех элементарных зарядов радиальные составляющие компенсируются. Поэтому результирующее поле в точке А будет направлено вдоль оси Oz, т.е. E_z = E. Тогда

,

и .

Из полученного выражения видно, что в центре диска (z = 0) . Если а  , то поле становится однородным и его напряженность совпадает с напряженностью поля заряженной бесконечной плоскости.

Рассмотренная задача может быть решена и с использованием принципа суперпозиции для потенциалов. Так, потенциал, создаваемый элементарным зарядом dq в точке наблюдения А .

Выполняя интегрирование по поверхности диска, получаем:

.

Учтем, что  зависит только от z, и что . Тогда получаем

.

Пример 2. Определить напряженность электрического поля на оси симметрии тонкого заряженного с поверхностной плотностью заряда  диска, если в его центре имеется круглое отверстие. Радиус диска а, радиус отверстия b < a.

Задача сводится к предыдущей. Отличие заключается лишь в том, что меняется нижний предел интегрирования:

.

Этот результат может быть получен иным способом, если использовать, как известное, значение напряженности электрического поля на оси сплошного тонкого диска. Поле диска с отверстием можно рассматривать как результат наложения полей двух дисков - одного (радиуса а) с поверхностной плотностью заряда , и соосного с ним другого (радиуса b), заряженного с поверхностной плотностью заряда -. Тогда

.

Пример 3. Определить потенциал электрического поля на окружности тонкого кольца радиуса а, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда . Диэлектрическая проницаемость среды равна 1.

Т.к. потенциал – величина скалярная и зависит только от расстояния между зарядом и точкой наблюдения, то для решения задачи удобно совместить начало координат О с точкой наблюдения (см. рис1.5). Для выбранной геометрии задачи

.

Из рис 1.5 видно, что полярный угол  принимает значения от 0 до . Поэтому .

Пример 4. Сфера радиуса R заряжена с поверхностной плотностью заряда =₀cos,

где  - азимутальный угол. Определить напряженность электрического поля на расстоянии r >> R вдоль оси дипольного момента сферы, а также в плоскости, перпендикулярной оси диполя и пересекающей его центр.

Т.к. составляющие элементарного дипольного момента

,

перпендикулярные оси Oz, при наложении компенсируются, то полный дипольный момент сферы p = p_z. Из рис.1.6

видно, что

.

Тогда полный дипольный момент сферы

.

На большом расстоянии от системы зарядов

.

Следовательно, в направлении оси Oz

.

В плоскости z = 0 дипольный момент сферы перпендикулярен радиус-вектору . Поэтому

, и напряженность электрического поля, по-прежнему направленная вдоль оси Oz, определяется выражением .