3.1. Примеры решения задач
Пример1. Квадратная рамка со стороной а и длинный прямой провод с током J находятся в одной плоскости, как показано на рис. 3.1. Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти ЭДС индукции в рамке как функцию расстояния х.
Индукция магнитного поля на расстоянии
х
от оси прямого проводника с током
определяется выражением
(см. пример 2
п.2.1.1).
Учитывая, что вектор магнитной индукции
перпендикулярен плоскости рамки,
магнитный поток, пронизывающий плоскость
рамки, будет равным:
,
где x = vt.
Тогда ЭДС индукции
в рамке i
.
Пример 2. Найти собственные частоты колебаний 1,2 двух индуктивно связанных контурах с емкостями С1 = С2 = С, индуктивностями L1 = L2 = L и коэффициентом взаимной индукции L12
Рис. 3.2
Пусть сила тока в первом контуре J1
и во втором - J2.
В соответствии с законом Ома в цепи
переменного тока (3.8) и (3.9) составим
систему уравнений
,
Рис.3.2 Будем искать решение системы в виде
и
.
Подстановка решения в исходные уравнения позволяет перейти от системы дифференциальных уравнений к системе линейных однородных алгебраических уравнений:
и
.
Такая система имеет нетривиальное решение, если детерминант, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю, т.е.
,
или
.
Действительные
положительные корни этого уравнения
определяют частоты собственных колебаний
контуров:
.
Таким образом, в системе двух одинаковых индуктивно связанных колебательных контуров реализуются собственные колебания с частотами
и
.
Если L12
<< L,
то колебания контуров – независимы, с
собственными частотами
.
Если же связь сильная, и L12
>> L,
то в системе реализуются колебания с
одной частотой
.
3.2. Задания для самостоятельной работы
3.1. Длинный прямой проводник с
током J и П-образный
проводник с подвижной перемычкой
расположены в одной плоскости, как
показано на рис. Перемычку, длина которой
l и сопротивление R,
перемещают вправо со скоростью v.
Найти ток, индуцируемый в контуре, как
функцию расстояния r между
перемычкой и прямым проводником.
3.2. Проволочный контур, ограничивающий
полукруг радиуса а, находится на
границе однородного магнитного поля с
индукцией В. В момент t
= 0 контур начинают вращать с постоянным
угловым ускорением
вокруг оси О, совпадающей с линией
вектора
на границе поля. Найти ЭДС индукции в
контуре как функцию времени.
Показать графически эту
зависимость.
3.3. Проводник АС массы m
скользит без трения по двум длинным
проводящим рельсам, расположенным на
расстоянии l друг от
друга. Рельсы с одной стороны замкнуты
на сопротивление R,
как показано на рис. Система находится
в однородном магнитном поле индукции
В, перпендикулярном плоскости
контура. В момент времени t
= 0 проводнику АС сообщают скорость
v0. Найти
расстояние, пройденное стержнем АС
до остановки, а также количество теплоты,
которое выделится при этом на сопротивлении
R.
3.4. В цепи, состоящей из заряженного конденсатора емкости С0 и катушки индуктивности L, замыкают ключ К. По какому закону должна изменяться во времени емкость конденсатора, чтобы ток в цепи нарастал прямо пропорционально времени?
3.5. Найти собственные частоты колебаний 1,2 в двух индуктивно связанных контурах с емкостями С1, С2, индуктивностями L1, L2 и коэффициентом взаимной индукции L12.
3.6. Плоский контур с параметрами R, L, C и площадью S вращается с угловой скоростью в постоянном магнитном поле В0 вокруг оси, лежащей в плоскости контура и перпендикулярной В0. Определить средний тормозящий момент М, приложенный к контуру.
3.7. Определить частоты собственных колебаний контуров, связь между которыми носит емкостной характер
(Z = - i/C).
3.8. Определить частоты собственных колебаний индуктивно связанных контуров (Z = iL).
3.9. В контур с индуктивностью L1, емкостью C1 и сопротивлением R1 включена ЭДС (t) = 0eit . С этим контуром индуктивно связан второй контур, параметры которого L2, C2 и R2. Коэффициент взаимной индукции L12. Определить токи J1 и J2 в обоих контурах.
3.10. К цепочке, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R и индуктивности L, прикладывается прямоугольный импульс напряжения U(t) = U0 при 0 t T и U(t) = 0 при t > T. Определить ток в цепочке как функцию времени.
3.11. Цепь состоит из плоского конденсатора емкости С (расстояние между пластинами d) и сопротивления R. Между пластинами конденсатора требуется создать поле, которое линейно возрастает от 0 до Е0 за время Т, а затем за то же время линейно убывает до нуля. Определить форму импульса напряжения, которое нужно подать на вход цепи.
3.12. В длинном прямом соленоиде с
радиусом a и числом
витков на единицу длины n
протекает ток, изменяющийся с постоянной
скоростью
А/с.
Определить напряженность электрического
поля как функцию расстояния от оси
соленоида r.
3.13. В колебательном контуре с параметрами R, L и C совершаются затухающие колебания. В определенный момент времени амплитуда колебаний была равной J1, а спустя некоторое время стала равной J2. Какое количество теплоты выделилось в контуре за это время?
3.14. На длинный соленоид с радиусом сечения а плотно надето тонкое проволочное кольцо в изоляции, причем одна половина кольца имеет сопротивление в раз больше, чем вторая. Индукция магнитного поля соленоида меняется по закону B = bt, где b = const. Определить модуль напряженности электрического поля в кольце.
3.15. Магнитный поток через поверхность неподвижного контура с сопротивлением R изменяется в течение времени по закону Ф = at( - t). Найти количество теплоты, выделившееся в контуре за это время. Индуктивностью контура пренебречь.
3.16. Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины. По нему течет ток
J = J0sint. Определить плотность тока смещения как функцию расстояния r от оси соленоида. Радиус сечения соленоида R.
3.17. В начальный момент времени
конденсатор С0 в цепи, показанной
на рис., заряжен до напряжения U0,
ключ К разомкнут. Найти зависимость
от времени напряжения U1
на конденсаторе С0 и напряжения
U2 на конденсаторе
С после замыкания ключа К.
3.18. Найти частоту колебаний контура, показанного на рис. Проанализировать, при каком соотношении между R, L и C колебания в контуре возможны.
3.19. Имеются два колебательных контура с конденсаторами одинаковой емкости. При каком соотношении между индуктивностями и активными сопротивлениями катушек частоты колебаний контуров будут одинаковыми?
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
3.5.
.
3.6.
.
3.7.
3.8.
.
3.9.
,
где
,
i - мнимая единица.
3.10.
при 0
t
T,
при t
T.
3.11.
при 0
t
T,
при T
t
2T.
3.12.
при r
a,
при r
a. 3.13.
.
3.14.
.
3.15.
.
3.16.
при r
R,
при r
R. 3.17.
,
,
где
.
3.18.
.
3.19.
.