1.1.1.Применение теоремы Гаусса к расчету электростатических полей

1.1.1. Примеры решения задач

Пример 1. Определить напряженность и потенциал поля бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда . Диэлектрическая проницаемость окружающей среды .

Из симметрии задачи ясно, что линии напряженности электрического поля должны быть параллельными прямыми, перпендикулярными заряженной поверхности, как показано на рис .1.2. Следовательно, поле заряженной плоскости является однородным.

Выберем замкнутую поверхность в виде прямого цилиндра длиной l с площадью основания S, как показано на рисунке. В силу однородности поля напряженности на нижнем и верхнем основаниях цилиндра одинаковы по величине и совпадают по направлению с положительными нормалями к этим поверхностям. Кроме того, учтем, что поток вектора напряженности через боковую поверхность отсутствует. Поэтому

.

Полный заряд в объеме, ограниченном цилиндрической поверхностью, равен q = S. Тогда и .

Потенциал поля плоскости .

В полученном выражении С – постоянная интегрирования, а ось Ох перпендикулярна плоскости. Принимая потенциал на поверхности плоскости равным нулю, получаем С = 0.

Окончательно .

Пример 2. Определить напряженность и потенциал электрического поля бесконечной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда . Диэлектрическая проницаемость окружающей среды .

Из осевой симметрии задачи следует, что силовые линии поля нити представляют собой систему радиальных лучей, выходящих из точек, принадлежащих оси симметрии. Тогда в точках, равноудаленных от нити, напряженность поля одинакова по величине. Выберем в качестве замкнутой поверхности прямой цилиндр длины l с радиусом основания r, ось которого совпадает с нитью (см. рис.1.3). При этом поток вектора напряженности через основания цилиндра отсутствует, и полный поток через замкнутую поверхность равен потоку через боковую поверхность цилиндра :

.

Т.к. в каждой точке боковой поверхности цилиндра направление совпадает с направлением нормали в этой точке, и E(r) = const, то

.

Полный заряд, заключенный в объеме цилиндра, q = l. Тогда получаем

.

Отсюда .

Потенциал поля нити

,

глее постоянная С определяется выбором точки нулевого потенциала

Пример 3. Шар радиуса R со сферической полостью радиуса а в центре заряжен с плотностью заряда, изменяющейся по линейному закону  = (r – а), где  - постоянная величина, а r – расстояние от центра шара. Определить напряженность и потенциал электрического поля шара. Диэлектрическую проницаемость шара и окружающей среды принять равными 1.

Из сферической симметрии задачи следует, что напряженность электрического поля зависит только от расстояния r от центра шара, т.е. E = E(r), а линии вектора - радиальные лучи, выходящие из начала координат, совмещенного с центром шара. При этом на любой сферической поверхности r = const напряженность поля по величине одинакова в каждой точке этой поверхности, а направление совпадает с направлением нормали к поверхности. Поэтому при использовании теоремы Гаусса в качестве замкнутой поверхности удобно выбирать поверхность r = const.

Рассмотрим поток вектора напряженности электрического поля через сферическую поверхность r < a. Т.к. в объеме полости заряд отсутствует, то поток вектора напряженности электрического поля через сферическую поверхность r < a равен 0, и, следовательно, электрическое поле в полости отсутствует.

Пусть радиус поверхности, через которую рассчитывается поток вектора напряженности, удовлетворяет неравенству a < r < R. Тогда поток вектора напряженности

N = .

С другой стороны этот поток с точностью до ₀ равен заряду, заключенному в объеме сферического слоя, ограниченного сферами радиусов а и r:

.

Таким образом,

и при a < r < R.

Рассмотрим поток вектора напряженности электрического поля через поверхность сферы r > R. Здесь, по-прежнему, N = , а заряд, заключенный в рассматриваемом объеме, равен полному заряду шара, т.е.

.

Поэтому при r > R.

Вычислим потенциал шара. Т.к. и при r < a Е = 0, то ₁ = С₁,

причем С₁ – постоянная. В области a < r < R

.

В области r > R

.

В случае ограниченного в пространстве заряда, как это имеет место в данной задаче, удобно принять равным нулю потенциал бесконечно удаленной точки. Тогда С₃ = 0. Кроме того, из непрерывности потенциала на границах следует:

₁(a) = ₂(a) и ₂(R) = ₃(R) .

Подстановка соответствующих значений r в записанные равенства дает:

; С₁ = С₂ .

Решая полученную систему уравнений относительно С₁ и С₂, окончательно получаем:

при r  a; при a < r < R;

при r > R.