2.2. Основное уравнение магнитостатики

2.2.1. Примеры решения задач

Пример. Определить векторный потенциал и индукцию магнитного поля бесконечного прямого цилиндрического проводника с током J. Радиус сечения проводника R, магнитная проницаемость материала проводника . Окружающая среда – вакуум.

Пусть - векторный потенциал в области r  R и - векторный потенциал в области r  R, причем и .

Совместим ось Oz цилиндрической системы координат с осью проводника. В силу аксиальной симметрии задачи и A = A_z, т.к. j = j_z. Учитывая, что , получаем следующие уравнения:

и .

В результате интегрирования имеем

и .

При этом индукция магнитного поля ( ) и, следовательно,

, .

Из условия ограниченности индукции магнитного поля при r = 0 следует, что С₁ = 0. Кроме того, в качестве точки нулевого векторного потенциала примем точку r = 0. Тогда С₂ также будет равным нулю. Таким образом,

и .

Для нахождения постоянных С₃ и С₄ воспользуемся непрерывностью векторного потенциала и непрерывностью тангенциальных составляющих векторов напряженности на границе раздела сред, т.е при r = R: A₁(R) = A₂(R) и . Подставляя соответствующие значения, получаем два уравнения:

и .

Отсюда получаем и . Тогда

и .

2.2.2. Задания для самостоятельной работы

2.27. Решить задачу 2.2 с помощью основного уравнения магнитостатики.

2.28. Решить задачу 2.3 с помощью основного уравнения магнитостатики.

2.29. Определить векторный потенциал и индукцию магнитного поля бесконечного прямого цилиндрического проводника с током плотностью j. Радиус сечения проводника R, магнитная проницаемость материала проводника _1. Магнитная проницаемость окружающей среды ₂.

2.30. Прямой бесконечный проводник с током J лежит в плоскости раздела двух непроводящих сред с магнитными проницаемостями ₁ и ₂. Определить индукцию магнитного поля как функцию расстояния r от проводника.

2.31. Решить задачу 2.30, считая, что проводник находится на границе среды с магнитной проницаемостью  и вакуума.

2.32. Прямой бесконечный проводник с током J перпен-дикулярен плоской границе раздела двух непроводящих полупространств с магнитными проницаемостями ₁ и ₂. Определить индукцию магнитного поля проводника с током.

2.33. Решить задачу 2.11 с помощью основного уравнения магнитостатики.

2.34. Решить задачу 2.12 с помощью основного уравнения магнитостатики.

2.35. Решить задачу 2.11 с помощью основного уравнения магнитостатики, если плоскость с током разделяет два непроводящих полупространства с магнитными проницаемостями ₁ и ₂.

2.36. Решить задачу 2.12 с помощью основного уравнения магнитостатики, если магнитная проницаемость материала проводника .

2.37. Решить задачу 2.12 с помощью основного уравнения магнитостатики, если магнитная проницаемость материала проводника ₁, а магнитная проницаемость окружающего пространства ₂.

2.38. В бесконечном прямом проводнике радиуса R течет ток, плотность которого равна a/r, где a = const, а r – расстояние от оси проводника. Определить индукцию магнитного поля проводника с током.

2.39. Решить задачу 2.38, если магнитная проницаемость материала проводника равна .

2.40. Ось бесконечного прямого полого проводника радиуса R лежит в плоскости раздела двух непроводящих полупространств с магнитными проницаемостями ₁ и ₂. По проводнику протекает ток J. Определить индукцию магнитного поля системы, а также токи, приходящиеся на единицу длины окружности проводника.

2.41. Решить задачу 2.40, если одно из полупространств – вакуум, а магнитная проницаемость второго полупространства равна .

2.42. Прямой проводник радиуса а окружен оболочкой радиуса b из непроводящего материала с магнитной проницаемостью . Проводник с оболочкой расположен в воздухе. Определить индукцию магнитного поля системы, если по проводнику протекает ток плотностью j.

2.43. Решить задачу 2.38 при условии, что плотность тока меняется по закону j = ar.