2.1. Законы магнетизма

2.1.1. Примеры решения задач

Пример 1. Определить индукцию магнитного поля на оси витка с током J. Радиус витка R..

Из рис.2.3 видно, что элемент тока Jdl = JRd создает в точке наблюдения на оси Oz магнитное поле индукцией

.

В этом выражении учтено, что  . Радиальные составляющие элементарных векторов , создаваемые диаметрально противоположными элементами тока, при наложении компенсируются. Поэтому результирующее поле направлено вдоль оси Оz, т.е. B = B_z. При этом

.

Тогда .

В центре витка (в точке О) z = 0 и .

Пример 2. Определить индукцию магнитного поля прямого проводника с током J длиной 2l с использованием принципа суперпозиции полей. Проанализировать полученный результат при l.

Из симметрии задачи следует, что отличной от нуля является лишь аксиальная составляющая индукции магнитного поля. Рассчитаем величину индукции в произвольной точке С, находящейся на расстоянии r от проводника с током. В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа и с геометрией задачи, представленной на рис.2.4,

,

где . Т.к. (z - z) = rctg , то . Тогда

.

Выполняя интегрирование по углу от ₁ до ₂, получаем:

.

При l   ₁  0 и ₂  . В этом случае .

Индукцию магнитного поля прямого проводника с током можно получить и с помощью векторного потенциала . Т.к. векторы и сонаправлены, то , где . Тогда

.

При l >> r магнитное поле и, следовательно, A_z не зависят от координаты z, т.е. A_z(z,r) = A_z(0,r). В этом случае полученное выражение для векторного потенциала существенно упрощается (положим z = 0 и учтем, что ):

.

Поскольку индукция магнитного поля связана с векторным потенциалом соотношением , то (см. Приложение 1).

Наконец, индукция магнитного поля бесконечного прямого проводника с током может быть легко определена с использованием закона полного тока. Учитывая аксиальную симметрию поля, рассмотрим циркуляцию вектора по замкнутому контуру в виде окружности произвольного радиуса r с центром на оси тока, как показано на рис.2.5. Т.к. вектор совпадает по направлению с направлением положительного обхода контура и, кроме того, зависит только от r, то

.

Отсюда получаем .

Пример 3. Круговой виток с током лежит на плоской границе разделяя вакуума и непроводящего полупространства с магнитной проницаемостью . Найти индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси витка, если в отсутствие магнетика индукция магнитного поля в этой точке равна В₀.

Будем решать задачу методом токов-изображений, подобно тому, как этот прием применялся в примере 1 п.1.4.1. Т.к. ток J находится на границе, то ток-изображение J совпадает с ним. Кроме того, учтем, что напряженность магнитного поля Н определяет поле токов в отсутствие магнетика, а на границе раздела в точке z = 0 выполняется равенство Н₁(0) = Н₂(0) - см. рис.2.6.

Пусть Н - напряженность магнитного поля, создаваемого на оси Оz током-изображением. Тогда, как это следует из граничных условий и рис 2.6,

Н₁ = Н₀ + Н и Н₂ = Н₀ - Н,

где Н₀ – напряженность магнитного поля витка с током в отсутствие магнетика. При z = 0

H₀(0) + H(0) = H₀(0) -H(0),

Откуда следует, что . Следовательно,

.

Используя результаты, полученные в примере 1 этого пункта, имеем

и .

Очевидно, что отношение и не зависит от z. Поэтому для произвольной точки на оси Oz справедливо равенство . Окончательно получаем

.