1.6. Работа и энергия электростатического поля.

Силы, действующие на заряды в электростатическом поле

1.6.1. Примеры решения задач

Пример. Определить энергию шара, заряженного равномерно с объемной плотностью зарядов ρ. Радиус шара R, диэлектрическую проницаемость шара принять равной 1.

С использованием теоремы Гаусса находим напряженность и потенциал электрического поля шара:

, при r  R;

, при r  R.

Поставленная задача может рассматриваться двумя способами:

- как задача нахождения энергии электрического поля шара;

- как задача нахождения энергии системы зарядов.

Определим энергию W электрического поля заряженного шара, учитывая, что

W= W₁ +W₂,

где W₁ – энергия поля внутри шара, и W₂ – энергия поля вне шара. При этом

,

.

Тогда полная энергия поля . Учитывая, что заряд шара , получаем

.

Этот же результат может быть получен расчетом энергии заряженного шара как системы зарядов. В этом случае

,

где  - потенциал в области, занятой зарядом, и V - объем этой области. Тогда

.

1.6.2. Задания для самостоятельной работы

1.96. Определить энергию сферы радиуса R, равномерно заряженной зарядом q.

1.97. Сферическая оболочка, внутренний радиус которой R₁, а внешний – R₂, равномерно заряжена с объемной плотностью заряда . Определить энергию электрического поля оболочки.

1.98. Три одинаковых точечных заряда q находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Определить энергию взаимодействия системы.

1.99. Четыре точечных заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а. Заряды, находящиеся на конце одной из диагоналей, одинаковы и равны q. Заряды в двух других вершинах также одинаковы и равны –q. Определить энергию взаимодействия системы.

1.100. Два одинаковых проводящих шара радиусами R заряжены зарядами q₁ и q₂ соответственно. Расстояние между центрами шаров l >> R. Определить полную энергию системы.

1.101. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти энергию взаимодействия заряда с плоскостью.

1.102. Две концентрические тонкие металлические оболочки радиусами R₁ и R₂ заряжены зарядами q₁ и q₂ соответственно. Определить собственные энергии оболочек и полную энергии системы.

1.103. Сферическую оболочку радиуса R₁, равномерно заряженную зарядом q, расширили до радиуса R₂. Найти работу, совершенную при этом электрическим полем.

1.104. В центре сферы радиуса R, равномерно заряженной по поверхности зарядом Q, находится точечный заряд q. Определить энергию взаимодействия заряда и сферы.

1.105. В центре сферической оболочки, равномерно заряженной по поверхности зарядом q, находится точечный заряд q₀. Определить работу, совершаемую электрическим полем, при увеличении радиуса оболочки от R₁ и R₂.

1.106. Точечный заряд q находится в центре сферического проводящего незаряженного слоя с небольшим отверстием. Какую работу нужно совершить, чтобы переместить заряд из центра оболочки через отверстие в бесконечно удаленную точку. Внутренний радиус слоя равен a, внешний – b.

1.107. Плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого равно d, в горизонтальном положении наполовину заполняют жидким диэлектриком с проницаемостью . Затем конденсатор подключают к источнику напряжения U. Найти приращение давления жидкости в конденсаторе.

1.108. Неполярная молекула с поляризуемостью  находится на большом расстоянии l от полярной молекулы с дипольным моментом . Определить силу взаимодействия молекул, если вектор ориентирован вдоль прямой, проходящей через обе молекулы.

1.109. Найти энергию взаимодействия электронного облака с ядром в атоме водорода. Заряд электрона распределен в атоме с объемной плотностью , где е – заряд электрона, а – боровский радиус атома.

1.110. Считая, что электронные облака обоих электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и характеризуются плотностью , где е – заряд электрона и а – боровский радиус атома, определить энергию взаимодействия электронов.

1.111. Определить энергию сферического конденсатора, заряженного зарядом q. Радиусы обкладок R₁ и R₂ > R₁.

1.112. Определить энергию, приходящуюся на единицу длины цилиндрического конденсатора, заряженного до напряжения U. Радиусы обкладок R₁ и R₂ > R₁.

1.113. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра незаряженной проводящей заземленной сферы радиуса R < d. Определить энергию и силу взаимодействия заряда и сферы.

1.114. Сфера радиуса R заряжена с поверхностной плотностью заряда  = _0 cos ( - широтный угол). Определить собственную энергию сферы.

ОТВЕТЫ