1.5. Основное уравнение электростатики
1.5.1. Примеры решения задач
Пример 1. Точечный заряд q находится на плоской границе двух диэлектрических полупространств - с проницаемостями 1 и 2. Найти величину векторов и .
Пусть 1 – потенциал электрического поля в первом диэлектрике, 2 – во втором. Потенциалы 1 и 2 удовлетворяют уравнению Лапласа:
1 = 0 и 2 = 0.
В
силу сферической симметрии задачи
потенциалы 1
и 2 являются
функциями только расстояния r
от заряда q. Тогда в
сферической системе координат
и
.
Решения этих уравнений имеют вид:
и
.
Принимая потенциал бесконечно удаленной
точки равным нулю, получаем
и
.
Эти результаты справедливы для любого направления вектора , в том числе и вдоль границы раздела диэлектриков. Следовательно, условие непрерывности потенциалов на границе приводит к равенству:
и
.
Таким образом,
.
Соответственно,
.
Для нахождения постоянной С воспользуемся теоремой Гаусса – рассмотрим поток вектора электрической индукции через поверхность сферы произвольного радиуса r с центром в точке расположения заряда (см. рис.1.13):
.
Подставляя
,
получаем
и
.
Тогда
П
ример
2. Бесконечное однородное
полупространство с диэлектрической
проницаемостью
граничит с вакуумом, как показано на
рис 1.14. Диэлектрик заряжен с объемной
плотностью заряда
.
Определить потенциал и напряженность
электрического поля в вакууме и в
диэлектрике.
Потенциал 1
поля в диэлектрике подчиняется уравнению
Пуассона
,
а потенциал 2
– уравнению Лапласа
.
Из геометрии задачи видно, что потенциалы
обеих областей зависят только от
координаты х и, следовательно,
оператор Лапласа
.
Тогда
и
.
Выполняя интегрирование, получаем:
и
.
Примем
.
Тогда С4 = 0, С2
=
и
,
.
Т.к.
,
то
и
.
Из условия непрерывности нормальных
составляющих вектора электрической
индукции на границе х = 0 следует,
что
.
Дополнительным условием для нахождения
постоянных С1 и С2
может служить физически обоснованное
требование обращения в нуль напряженности
электрического поля при х
. Тогда С1
= 0 и
.
Окончательно получаем
.
Таким образом, напряженность электрического поля в диэлектрике экспоненциально убывает с увеличением х, а поле в вакууме однородно.
Пример 3. Проводящая заземленная сфера радиуса R помещена в однородное электрическое поле напряженностью Е0. Определить распределение плотности заряда, индуцированного на поверхности сферы.
При помещении проводящей сферы в однородное электрическое поле на «полюсах« ее поверхности индуцируются заряды противоположного знака, приводящие к искажению силовых линий поля, как показано на рис.1.7 к примеру 1 п.1.3.1.
Введем систему координат так, чтобы
ось Оz декартовой
системы координат совпадала с направлением
вектора
(рис.1.15). В силу осевой симметрии
распределения поверхностных зарядов
потенциал электрического поля зависит
только от расстояния от центра сферы r
и от азимутального угла ,
т.е.
.
При этом потенциал внутри и на поверхности
сферы равен нулю, а вне сферы удовлетворяет
уравнению Лапласа
.
Подстановка решения в форме
позволяет разделить переменные и
записать два уравнения для функций
R(r),
():
,
,
где - положительная постоянная величина.
Решением второго из уравнений при
и l = 0, 1, 2,… являются
полиномы Лежандра
:
- для четных l и
- для нечетных l.
Подставляя значения в уравнение для функции R(r), получаем уравнение Эйлера
,
которое приводится к дифференциальному
уравнению второго порядка с постоянными
коэффициентами заменой переменной
:
.
Решения уравнения имеют вид:
.
Таким образом, общим решением уравнения
Лапласа является функция
.
Постоянные интегрирования С1 и С2, а также степень полинома l найдем из граничных условий – равенства потенциала нулю на поверхности сферы r = R и отсутствию искажения внешнего поля на бесконечности. Радиальная составляющая напряженности электрического поля
.
При r
с
одной стороны
,
а с другой -
.
Следовательно,
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях cos в левой и правой частях этого равенства, приходим к выводу, что l = 1. Таким образом,
,
Теперь
,
т.е.
.
Из условия равенства нулю потенциала
на поверхности сферы получаем:
,
т.е.
.
Окончательно
получаем
.
Тогда на поверхности сферы
.
С другой стороны,
вблизи поверхности сферы
.
Следовательно,
.