СОДЕРЖАНИЕ

Принятые обозначения…………………………………………………......... Введение. Основные понятия электродинамики. Уравнения электромагнитного поля………………………………………………………………….. 1. Электростатика…………………………………………………………….. Краткие теоретические сведения………………………………………… 1.1.Применение теоремы Гаусса к расчету электростатических полей…………………………………………… 1.1.1. Примеры решения задач…………………………………….. 1.1.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. Применение принципа суперпозиции к расчету электростатических полей…………………………………………… 1.2.1. Примеры решения задач………………………………………. 1.2.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. 1.3. Проводники в электростатическом поле…………………………… 1.3.1. Примеры решения задач………………………………………. 1.3.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. 1.4. Электростатическое поле в диэлектриках………………….............. 1.4.1. Примеры решения задач………………………………………. 1.4.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. 1.5. Основное уравнение электростатики……………………………….. 1.5.1. Примеры решения задач………………………………………. 1.5.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. 1.6 Работа и энергия электростатического поля. Силы, действующие на заряды в электростатическом поле……………………….. ……... 1.6.1. Примеры решения задач………………………………………. 1.6.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. Ответы к заданиям………………………………………………………... 2. Стационарные поля. Магнитостатика…………………………………… Краткие теоретические сведения………………………………………… Примеры решения задач и задания для самостоятельной работы………………………………………………….. 2.1. Законы магнетизма…………………………………………………… 2.1.1. Примеры решения задач………………………………………. 2.1.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. 2.2. Основное уравнение магнитостатики………………………………. 2.2.1. Примеры решения задач………………………………………. 2.2.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. 2.3. Энергия магнитного поля. Индуктивность проводников…………………………………………………….......... 2.3.1. Примеры решения задач………………………………………. 2.3.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. 2.4. Законы постоянного тока……………………………………………. 2.4.1. Примеры решения задач………………………………………. 2.4.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. Ответы к заданиям………………………………………………………... 3. Квазистационарные явления……………………………………………… Краткие теоретические сведения………………………………………... Примеры решения задач и задания для самостоятельной работы………………………………………………….. 3.1. Примеры решения задач………………………………………. 3.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. Ответы к заданиям………………………………………………………... 4. Электромагнитные волны. Элементы теории излучения………………………………………………………………….. Краткие теоретические сведения………………………………………… Примеры решения задач и задания для самостоятельной работы………………………………………………….. 4.1. Электромагнитные волны…………………………………………… 4.1.1. Примеры решения задач………………………………………. 4.1.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. 4.2. Элементы теории излучения………………………………………… 4.2.1. Примеры решения задач………………………………………. 4.2.2. Задания для самостоятельной работы……………………….. Ответы к заданиям………………………………………………………... Варианты индивидуальных заданий………………………………………... Приложения…………………………………………………………………… Приложение 1: Операторы теории поля в криволинейных ортогональных координатах……………………………. Приложение 2: Электромагнитные постоянные………………............... Приложение 3: Единицы измерения электромагнитных величин…….. Литература……………………………………………………………………

5 7 9 9 13 13 15 17 17 19 21 21 23 25 25 26 29 29 32 33 33 34 36 38 38 43 43 43 45 48 48 49 50 50 52 53 53 54 56 58 58 59 59 60 63 64 64 67 67 67 68 70 70 72 74 75 76 76 78 79 81

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1.  - объемная плотность заряда

2.  - поверхностная плотность заряда

3. ,  - линейная плотность заряда

4. V – объем области, занятой зарядом

5. e, q, Q - заряд (e – заряд электрона);

6. - вектор плотности тока;

7. - элемент ориентированной поверхности

8. J – сила тока; =

9. - вектор напряженности электрического поля

10 ₀, – электрическая постоянная

11.  - диэлектрическая проницаемость среды

12. - вектор электрической индукции (электрического смещения);

13. - вектор индукции магнитного поля

14. ₀ - магнитная постоянная

15.  - магнитная проницаемость среды

16. - вектор напряженности магнитного поля;

17. с - скорость света в вакууме;

18. N - поток вектора индукции или напряженности (по смыслу) электрического поля;

или

19. Ф – поток вектора магнитной индукции;

20. - векторный потенциал;

21.  - скалярный потенциал электрического поля; - в общем случае

и - в статическом и стационарном полях

21. , U - разность потенциалов, напряжение

22.  - ЭДС

23. ,  - электропроводность (отличается от соответствующего обозначения линейной

плотности заряда по смыслу);

24. - удельное сопротивление (отличается от плотности заряда по смыслу)

25. q – количество теплоты в единице объема (отличается от заряда по смыслу)

26. Q – количество теплоты в объеме V (отличается от заряда по смыслу);

27. - вектор силы

28. А – работа

29. w – плотность энергии электромагнитного поля;

30. W – энергия поля в объеме V;

31. - вектор плотности потока энергии (вектор Умова-Пойнтинга), отличается от ориен-

тированной поверхности по смыслу;

32. С_ik, C – емкостные коэффициенты, емкость проводника

33. _ik – потенциальные коэффициенты

34. P, N - мощность (N отличается от потока по смыслу)

35. - электрический дипольный момент;

36.  - диэлектрическая восприимчивость

37. - вектор поляризации (электрический дипольный момент единицы объема диэлект-

Рика);

38. - магнитный дипольный момент; =

39.  - магнитная восприимчивость

40. - вектор намагничения (магнитный момент единицы объема магнетика);

41.  - гиромагнитное отношение (отличается от электропроводности по смыслу)

42. - момент силы

43. - механический момент

44. L_ik, L – коэффициенты индукции и индуктивность проводника соответственно

45. m – масса

46.  - циклическая частота (угловая скорость)

47. - волновой вектор

48. - скорость

49. - единичный вектор направления

50. - радиус-вектор точки наблюдения

51. - радиус вектор заряда, элемента тока

52.

53. t,  - время ( отличается от линейной плотности заряда по смыслу)

4. ,  - угловые координаты

55.  - телесный угол

56.  - оператор Лапласа

57. - оператор «набла»

ВВЕДЕНИЕ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ,

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Основными понятиями электродинамики являются понятия заряда и электромагнитного поля.

Заряд – мера свойств заряженных тел и некоторых частиц (электронов, протонов и др.) принимать участие в электромагнитных взаимодействиях.

С неподвижными и движущимися зарядами связано электрическое поле, магнитное же поле связано лишь с движущимися зарядами. В свою очередь, электрическое поле оказывает силовое воздействие на неподвижные и движущиеся заряды, а магнитное – только на движущиеся заряды. В силу относительности движения очевидно, что понятие магнитного поля является относительным, и поэтому имеет смысл говорить о едином электромагнитном поле.

В классической электродинамике рассматриваются макроскопические заряды, в общем случае непрерывно распределенные в пространстве (частным случаем такого распределения можно считать точечный заряд). Непрерывное распределение описывается плотностью заряда ; при этом плотность точечного заряда можно представить с помощью дельта-функции Дирака такой, что

.

Движущиеся заряды создают ток, характеризующийся вектором плотности тока

. (1)

Поток вектора плотности тока через поверхность S представляет собой силу тока

. (2)

При этом закон сохранения заряда в дифференциальной форме имеет вид уравнения непрерывности

. (3)

Электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля характеризуются векторами напряженности электрического поля и индукции магнитного поля . Дискретная структура вещества в электродинамике отражается введением диэлектрической проницаемости , магнитной проницаемости , а также электропроводности среды . Если и характеризуют электрическое и магнитное поле в однородной и изотропной среде, то векторы электрической индукции (электрического смещения)

(4)

и напряженности магнитного поля

(5)

определяют поле в отсутствие среды, связанное со свободными зарядами и токами. При этом вакуум формально рассматривается как среда с  = 1,  = 1 и  = 0, а векторы индукции электрического и напряженности магнитного полей являются вспомогательными, не имеющими самостоятельного физического смысла. Электрическая ₀ и магнитная ₀ постоянные связаны соотношением

,

где – скорость света в вакууме.

В проводящей среде связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля выражается законом Ома в дифференциальной форме

, (6)

где – напряженность поля сторонних сил.

Основными дифференциальными уравнениями, описывающими электромагнитное поле, являются уравнения Максвелла, в которых обобщаются экспериментально установленные законы электромагнетизма.

Дифференциальная форма Интегральная форма

1.	- теорема Гаусса, являющаяся обобщением закона Кулона; q - полный свободный заряд в объеме V.
2.	- закон полного тока; J – полный ток, охватываемый контуром L, S – поверхность, натянутая на контур L.
3.	- замкнутость линий индукции магнитного поля (отсутствие магнитных зарядов)
4.	i = - закон электромагнитной индукции

Уравнения Максвелла дополняются материальными соотношениями (4), (5) и (6).

На границе раздела двух сред выполняются следующие граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов напряженности и индукции полей:

(7)

( - поверхностная плотность свободных зарядов);

, (8)

(i – линейная поверхностная плотность тока свободных зарядов, протекающего вдоль границы перпендикулярно H_t2 и H_t1).

Закон сохранения энергии электромагнитного поля выражается уравнением:

, (9)

где W – энергия поля в объеме V, - поток энергии через поверхность , ограничивающую объем V, Q – количество теплоты, выделяющееся в объеме V, а - вектор плотности потока энергии (вектор Умова-Пойнтинга). В дифференциальной форме (9) имеет вид уравнения непрерывности:

, (10)

где - плотность энергии электромагнитного поля,

,

- джоулево тепло, выделяющееся в единице объема.

1. Электростатика

Краткие теоретические сведения

Электростатика – раздел электродинамики, в котором рассматриваются не зависящие от времени поля распределения неподвижных зарядов ( ). При этом система уравнений Максвелла сводится к двум уравнениям:

(1.1)

. (1.2)

Из (1.2) следует, что электрическое поле системы неподвижных зарядов носит потенциальный характер, т.е.

, (1.3)

где  - потенциал электростатического поля. Потенциал  определен с точностью до постоянной, значение которой обусловлено выбором точки нулевого потенциала:

. (1.4)

Т.к. сила, действующая на пробный заряд q, помещенный в рассматриваемую точку поля, , то работа электростатического поля по перемещению заряда из точки 1 поля в точку 2 равна:

. (1.5)

Подстановка (1.3) в (1.1) позволяет объединить уравнения (1.1) и (1.2) в одно основное уравнение электростатики:

. (1.6)

В области пространства, где заряды отсутствуют, уравнение (1.6), называемое уравнением Пуассона, переходит в уравнение Лапласа:

. (1.7)

Основной задачей электростатики является нахождение поля заданного распределения заряда и сил, действующих на заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля. Такая задача в общем случае сводится к решению уравнения (1.6) или (1.7) с последующим определением вектора напряженности в соответствии с (1.3). При решении уравнений (1.6) и (1.7) следует помнить, что потенциал непрерывен на границах разделов сред, а производные потенциала, определяющие проекции напряженности электрического поля, изменяются в соответствии с граничными условиями (7).

Во многих случаях решение основной задачи электростатики может быть более простым при использовании принципа суперпозиции для напряженностей или потенциалов. Так, поле точечного заряда определяется следующими выражениями:

, , (1.8)

если начало координат совмещено с зарядом, или

, (1.9)

(здесь - радиус-вектор точки наблюдения поля, а - радиус-вектор заряда).

Рассматривая в системе объемно распределенных зарядов элементарный заряд dq=dV как точечный, его поле можно записать в виде (см. рис 1.1):

,

,

где .

Тогда напряженность и потенциал электростатического поля всей системы равны:

, (1.10)

. (1.11)

Если система зарядов обладает центральной или осевой симметрией и, кроме того, существуют поверхности, на которых значение напряженности остается постоянным, наиболее рациональным для расчета поля является использование теоремы Гаусса в интегральной форме

. (1.12)

Энергия электростатического поля в общем случае равна

, (1.13)

где интегрирование ведется по всей области, занятой полем.

Если объемно распределенный заряд ограничен в пространстве, то его энергия, равная энергии поля, определяется выражением:

, (1.14)

причем в последнем интеграле интегрирование ведется по области, занятой зарядом.

Если система объемно распределенных зарядов помещена во внешнее электростатическое поле, то полная энергия системы

W = W₁ + W₂ + W₁₂,

где W₁ и W₂ – собственная энергия системы зарядов и внешнего поля, определяемые выражениями (1.13), (1.14), а W₁₂ – энергия взаимодействия зарядов и поля, равная

. (1.15)

Здесь - плотность заряда системы а ₂(r) – потенциал внешнего поля в области, занятой зарядом.

Для системы точечных зарядов энергия взаимодействия

, (1.16)

где _ik – потенциал поля k-го заряда в точке расположения i-го заряда; _i - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы кроме i-го в точке расположения этого заряда. С учетом (1.9) энергия взаимодействия системы точечных зарядов принимает вид:

. (1.17)

При этом сила, действующая на i-ый заряд, определяется общим выражением:

(1.18)

(индекс i указывает на то, что градиент берется по координатам i-го заряда).

На больших расстояниях от системы зарядов с линейным размером l (r >>r, l; начало отсчета совмещается с какой-либо точкой системы, чаще всего – с центром масс) потенциал можно представить в виде суммы мультипольных потенциалов

, (1.19)

получаемых разложением в (1.11) подынтегральной функции 1/R в ряд по степеням малости r . Первые два слагаемые в (1.19) имеют вид:

, (1.20)

. (1.21)

Выражение (1.20) описывает поле точечного заряда, равного полному заряду системы и расположенного в начале координат, а выражение (1.21) определяет дипольный потенциал – поле системы, электрический дипольный момент которой равен:

. (1.22)

Потенциал ₂ называется квадрупольным, ₃ – октупольным и т.д. Важно отметить, что

и т.д.

В общем случае потенциал системы зарядов на большом расстоянии от нее определяется первым не равным нулю мультипольным потенциалом. Особую роль играет поле диполя – как правило, реальные системы зарядов в целом электронейтральны, и их поле определяется дипольным моментом. Потенциалу _i соответствует напряженность электрического поля диполя

. (1.23)

Электрический диполь во внешнем электрическое поле напряженностью обладает энергией ; при этом на него действует сила и момент силы .

Электростатическое поле в веществе принципиально зависит от структуры вещества – наличия или отсутствия свободных зарядов. Вещество, в котором свободные заряды отсутствуют, является диэлектриком. Существование в диэлектрике связанных зарядов (электронов и ядер в атомах и молекулах, которые под действием электрического поля могут смещаться лишь на микроскопические расстояния) приводит к его поляризации. Количественной характеристикой степени поляризации служит вектор поляризации - электрический дипольный момент единицы объема диэлектрика. Связь между вектором напряженности электрического поля в диэлектрике индукцией электрического поля и вектором поляризации устанавливается соотношением

. (1.24)

В однородной и изотропной среде и в слабых полях вектор поляризации пропорционален напряженности электрического поля:

, (1.25)

где  - диэлектрическая восприимчивость.

Объединение (1.24) и (1.25) приводит к материальному уравнению

. (1.26)

На границе раздела двух диэлектриков граничные условия

дополняются граничным условием для вектора поляризации

, (1.27)

где  - поверхностная плотность связанных зарядов.

В отличие от диэлектриков, в проводниках существуют свободные заряды, которые под действием поля могут перемещаться на макроскопические расстояния и полностью экранировать электростатическое поле. Макроскопической характеристикой способности свободных зарядов перемещаться является электропроводность , связанная с напряженностью электрического поля законом Ома (5). Т.к. электростатическое поле связано с неподвижными зарядами ( ) и   0, то в проводниках электростатическое поле отсутствует. Кроме того, из уравнения следует, что в проводниках отсутствуют и объемные заряды. Другими словами, вне зависимости от того, заряжен проводник или не заряжен, но помещен в электростатическое поле, в его объеме заряды отсутствуют – сообщенный или наведенный заряды распределяются по поверхности. При этом весь объем и поверхность проводника эквипотенциальны. Вблизи поверхности проводника напряженность электрического поля перпендикулярна его поверхности:

, (1.28)

где - внешняя нормаль к поверхности проводника,  - поверхностная плотность заряда, а  - диэлектрическая проницаемость окружающей среды.

Энергия проводника, заряженного зарядом q до потенциала  , равна:

. (1.29)

Энергия системы заряженных проводников может быть представлена в виде:

. (1.30)

Здесь _k – потенциал, создаваемый всеми проводниками системы на k-том проводнике.

Потенциал i-го заряда системы заряженных проводников является линейной функцией зарядов проводников:

, (1.31)

Коэффициенты _ik = _ki зависят от взаимного расположения, формы и геометрических размеров проводников, а также от диэлектрической проницаемости окружающей среды и называются потенциальными коэффициентами. Соответственно, заряды проводников также являются линейными функциями их потенциалов, т.е.:

. (1.32)

Величины С_ik называются емкостными коэффициентами, причем матрица коэффициентов C_ik является обратной матрице коэффициентов _ik. Коэффициенты C_ii > 0 (собственные емкости), C_ik = C_ki < 0 (коэффициенты взаимной емкости). Для уединенного проводника , для системы из двух проводников (конденсатора), заряженных одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами q, величина называется емкостью конденсатора (U – напряжение на конденсаторе). Введение емкостных коэффициентов позволяет записать выражение для энергии системы проводников в виде:

. (1.33)

На заряженный проводник или незаряженный, но помещенный во внешнее электрическое поле, со стороны поля действуют силы, растягивающие этот проводник. Сила, действующая на единицу поверхности, перпендикулярна этой поверхности и равна

. (1.33)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ