Численные методы решения задачи Коши для системы оду первого порядка.

Определение :

Система дифференциальных уравнений называется нормальной , если все уравнения системы разрешены относительно старшей производной.

Рассмотрим систему ДУ вида:

- искомые функции на промежутке [x₀,X]

Заданы начальные условия :

Введем понятие вектор-функции :

, ,

Тогда имеем :

Вопрос 21.

Решение ОДУ высших порядков.

Переход от оду высшего порядка к сду первого порядка

Вопрос 22.

Аналитические методы решения ОДУ. Метод последовательного дифференцирования.

Вопрос 23.

Аналитические методы решения ОДУ. Метод последовательных приближений.

Вопрос 24.

Решение краевой задачи методом конечных разностей.

Вопрос 25.

Численные методы решения задачи Дирихле для дифференциальных уравнений в частных производных.

Метод сеток

Вопрос 26.

Задачи оптимизации. Линейное программирование.

Линейное программирование

Вопрос 27.

Квадратурный метод решения интегрального уравнения Фредгольма.

Квадратурный метод решения ИУ Фредгольма.

Рассмотрим решение ИУ Фредгольма первого и второго рода.

Заменим определенный интеграл приближенным значением :

Где x_j – абсциссы точек отрезка [a,b],

A_j - весовые коэффициенты квадратурной формулы не зависящие от F(x).

Введем на отрезке [a,b] дискретную сетку x₁,x₂,x₃,..x_n узлы которой совпадают с узлами s₁,s₂,s₃,..s_n .

Теперь используем это равенство в преобразовании уравнений Фредгольма первого и второго рода соответственно:

Здесь

Получаем функцию , описывающую приближенное решение ИУ .

Данную систему можно решить каким-либо известным способом( методом Гаусса , итераций).

Таким образом алгоритм решения уравнения Фредгольма :

1. Задать сетку x_i

2. Вычислить значения функции f(x)в узлах сетки

3. Вычислить элементы матрицы, составленной из коэффициентов СЛАУ

4. Решить СЛАУ

В зависимости от выбора квадратурной формулы значения коэффициентов A_j и абсцисс точек отрезка [a,b] x_j будут такими :

• Для формулы трапеций

• Для формулы Симпсона

Погрешность приближенного решения есть погрешность выбранной квадратурной формулы.

Пример:

Найти приближенное решение уравнения

Используем формулу Симпсона при n=2.

Сначала определим коэффициенты:

Теперь можем написать:

Вспомним , что x=x_i ( та же сетка ) :

Получаем решение : Точным решением уравнения является функция y(x)1

Окончательное приближенное решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода записывается в виде интерполяционного полинома, а второго рода в виде :

В итоге получаем приближенное решение: